2011届高三一轮测试(文)5平面向量(通用版)

平面向量———————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中不正确的是()A．a∥b⇔|a·b|＝|a|·|b|B．|a|＝a2C．a·b＝a·c⇔b＝cD．a·b≤|a|·|b|2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形3.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知正三角形ABC的边长为1，且＝a，＝b，则|a－b|＝()A.3B．3C.2D．15．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝()A.32a2B．－32a2C.32a2D．－32a26．在△ABC中，cos2B＞cos2A是A＞B的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若函数y＝f(2x－1)＋1的图象按向量a平移后的函数解析式为y＝f(2x＋1)－1，则向量a等于()A．(1,2)B．(－1,2)C．(－1，－2)D(1，－2)8．在△ABC中，已知向量＝(cos18°，cos72°)，＝(2cos63°，2cos27°)，则△ABC的面积等于()A.22B.24C.32D.29．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：①∥；②⊥；③＋＝；④＝－2.其中正确结论的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在()A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部11．已知A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，设＝a，＝b，＝c，且存在实数m，使ma－3b－c＝0成立，则点A分的比为()A．－13B．－12C.13D.1212．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，b1)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝2，12，n＝π3，0，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A．2，πB．2,4πC.12，4πD.12，π第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点P分有向线段的比为3，则P1分的比为______．14．已知向量a＝(1，－3)，b＝(4,2)，若a⊥(b＋λa)，其中λ∈R，则λ＝________.15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB＝34，若·＝32，则a＋c＝________.16．设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．若|a|＝|b|且a、b不共线，则(f(a)－f(b))·(a＋b)＝________；若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f()＝，则λ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，且·＝5，2＝10.(1)求D点的坐标；(2)若D的横坐标小于零，试用，表示18．(本小题满分12分)设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)(1)求证：a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.19.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝7，且cos2C＋2cos(A＋B)＝－32.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积S.20．(本小题满分12分)在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．21.(本小题满分12分)如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为3π4，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈π2，3π2.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；(2)若tanθ＝－43，求O·O的值．答案：卷(五)一、选择题1．C对于选项C，当b、c不相等且都与a垂直时，a·b＝a·c也成立，故C不正确，选C.2．A∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－12ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－14＜0.则△ABC是钝角三角形．故选A.3．C①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立，故选C.4．A由题意知a与b的夹角为180°－60°＝120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－12，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝3.5．B结合图形易知两向量夹角为5π6，且||＝a，||＝3a，故·＝||×||×cos5π6＝－3a22.6．Ccos2B＞cos2A⇔1－2sin2B＞1－2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sinA＞sinB⇔A＞B.7．C设向量a＝(h，k)，y＝f(2x－1)＋1y＝f[2(x－h)－1]＋1＋k＝f(2x＋1)－1，所以h＝－1，k＝－2.8．A由已知得＝(cos18°，cos72°)＝(cos18°，sin18°)，B＝(2cos63°，2cos27°)＝(2sin27°，2cos27°)，故cos，＝＝2cos18°sin27°＋sin18°cos27°1×2＝cos45°，故，＝45°，因此S△＝12||×||×sin135°＝22.9．D①由于＝(－2,1)，＝(2，－1)⇒＝－⇒∥，由共线向量基本定理易知命题正确；②·＝(2,1)·(－2,1)＝－3≠0，故命题错误；③＋＝(2,1)＋(－2,1)＝(0,2)＝，命题正确；④＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，故命题正确，因此正确结论的个数共有3个，故选D.10．A由于＝λ＋⇒＋＝λ⇒＝λ，根据共线向量的基本条件，则C、P、A三点共线，故选A11．C由已知得：＝a－b，＝c－a，设a－b＝λ(c－a)，即(λ＋1)a－b－λc＝0，∴3b＝(3λ＋3)a－3λc，又∵3b＝ma－c，∴根据平面向量基本定理得3λ＝1，即λ＝13.故选C.12．C设P(x0，y0)，Q(x，f(x))，则由已知得(x，f(x))＝2x0＋π3，12y0，即x＝2x0＋π3，∴x0＝12x－π6.f(x)＝12y0，∴y0＝2f(x)．又y0＝sinx0，∴2f(x)＝sin12x－π6，f(x)＝12sin12x－π6.∴(f(x))max＝12，T＝2π12＝4π.二、填空题13．【解析】∵P分有向线段的比为3，∴＝3，如图，∴＝－43【答案】－4314．【解析】∵a⊥(b＋λa)，∴a·(b＋λa)＝0.∴(1，－3)(4＋λ，2－3λ)＝0，即(4＋λ)－3(2－3λ)＝0.解得λ＝15.【答案】1515．【解析】∵·＝32，∴ac·cosB＝32.又∵cosB＝34，且a、b、c成等比数列，∴b2＝ac＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5.∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，即a＋c＝3.【答案】316．【解析】∵|a|＝|b|且a、b不共线，∴(f(a)－f(b))·(a＋b)＝(λa－λb)·(a＋b)＝λ(|a|2－|b|2)＝0.∵＝(1,2)，∴f()＝λ(1,2)，＝(2,4)，∴λ＝2.【答案】0,2三、解答题17．【解析】(1)设D(x，y)，则＝(1,2)，＝(x＋1，y)．∴·＝x＋1＋2y＝5，①2＝(x＋1)2＋y2＝10.②联立①②，解之得x＝－2，y＝3，或x＝2，y＝1.∴D点的坐标为(－2,3)或(2,1)．(2)因D点的坐标为(－2,3)时，＝(1,2)，＝(－1,3)，＝(－2,1)，设＝m＋n，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)．∴－2＝m－n，1＝2m＋3n，∴m＝－1，n＝1.∴＝－＋.18．(1)【解析】证明：∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，－1×3≠1×4，∴a与b不共线，cosa，b＝a·b|a||b|＝－4＋32·5＝－210.(2)cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝－5－22·29＝－75858，∴c在a方向上的投影为|c|cos〈a，c〉＝－722.(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37.19．【解析】(1)∵cos2C＋2cos(A＋B)＝－32，∴2cos2C－1－2cosC＝－32，∴cosC＝12.∵0＜C＜180°，∴C＝60°.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴7＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，∵a＋b＝5，∴7＝25－3ab，∴ab＝6，∴S＝12absinC＝12×6×32＝332.20．【解析】(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255.于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinA·cosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.21．【解析】(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝3.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝33.在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝332＋32＝303.则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时)．(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝ABBC＝3303＝31010，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝31010·32－12·1－310102＝33－11020.由正弦定理得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA.∴AD＝AC·sin∠DCAsin∠CDA＝33·3101033－11020＝9＋313.22．【解析】(1)由三角函数的定义得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ)，在△AOB中，|OB|＝2，∠BAO＝π4，∠B＝π－π4－θ＝3π4－θ由正弦定理，得|OB|sinπ4＝|OA|sin∠B，即222＝|OA|sin3π4－θ所以|OA|＝22sin3π4－θ.(2)由(1)得O·O＝|O|·|O|·cosθ＝42sin3π4－θ·cosθ因