专题能力训练24

Gothedistance1专题能力训练24不等式选讲(选修4—5)能力突破训练1.若a0,b0,且1𝑎+1𝑏=√𝑎𝑏.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2.(2015中原名校联盟模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.(1)解不等式f(x)≤5;(2)若不等式t2+3tf(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=|𝑥+1𝑎|+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.4.(2015河南商丘二模)已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.Gothedistance25.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c大于0,且1𝑎+12𝑏+13𝑐=m,求证:a+2b+3c≥9.6.(2015河北保定二模)设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.Gothedistance3思维提升训练8.(2015吉林第三次调研)已知函数f(x)={𝑥,𝑥≥1,1𝑥,0𝑥1,g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-12;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.Gothedistance4参考答案能力突破训练1.解:(1)由√𝑎𝑏=1𝑎+1𝑏≥2√𝑎𝑏,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立.故a3+b3≥2√𝑎3𝑏3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4√2.(2)由(1)知,2a+3b≥2√6√𝑎𝑏≥4√3.由于4√36,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.2.解:(1)原不等式等价于{𝑥-3,-2-2𝑥≤5或{-3≤𝑥≤1,4≤5或{𝑥1,2𝑥+2≤5,得-72≤x-3或-3≤x≤1或1x≤32,因此不等式的解集为[-72,32].(2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3tf(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t[f(x)]min=4⇒t2+3t-40⇒t-4或t1.3.(1)证明:由a0,有f(x)=|𝑥+1𝑎|+|x-a|≥|𝑥+1𝑎-(𝑥-𝑎)|=1𝑎+a≥2.故f(x)≥2.(2)解:f(3)=|3+1𝑎|+|3-a|.当a3时,f(3)=a+1𝑎,由f(3)5,得3a5+√212.当0a≤3时,f(3)=6-a+1𝑎,由f(3)5,得1+√52a≤3.综上,a的取值范围是(1+√52,5+√212).4.解:(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],∴{3-𝑚=0,𝑚+1=4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥92,当且仅当a=b=32时取等号,∴a2+b2的最小值为92.(方法二:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(𝑎-32)2+92≥92,∴a2+b2的最小值为92.5.(1)解:∵f(x+2)=m-|x|,∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明:由(1)知1𝑎+12𝑏+13𝑐=1,且a,b,c大于0,a+2b+3c=(a+2b+3c)(1𝑎+12𝑏+13𝑐)=3+(2𝑏𝑎+𝑎2𝑏)+(3𝑐𝑎+𝑎3𝑐)+(3𝑐2𝑏+2𝑏3𝑐)Gothedistance5≥3+2√2𝑏𝑎·𝑎2𝑏+2√3𝑐𝑎·𝑎3𝑐+2√3𝑐2𝑏·2𝑏3𝑐=9.当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.6.解:(1)当x≥12时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x≥2.当-3x12时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3x≤0.当x≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x≤-3.综上,原不等式的解集A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,得x≥a+1或x≤𝑎-13,所以a+1≤-2或a+1≤𝑎-13,得a≤-2.综上,a的取值范围为a≤-2.7.解:(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|={3𝑥-4,𝑥≥3,𝑥+2,12𝑥3,4-3𝑥,𝑥≤12,如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,故有(2x-1)(x-a)≤0.当a=12时,可得x=12,故x的取值范围为{12};当a12时,可得12≤x≤a,故x的取值范围为[12,𝑎];当a12时,可得a≤x≤12,故x的取值范围为[𝑎,12].思维提升训练8.解:(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x0),g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1≤x≤2时等号成立.故实数b的取值范围是[-1,+∞).(2)当a=1时,g(x)={1𝑥+𝑥-2,0𝑥1,2𝑥-2,1≤𝑥≤2,2,𝑥2.Gothedistance6当0x1时,g(x)=1𝑥+x-22√𝑥·1𝑥-2=0;当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.9.解:(1)∵a=2,∴f(x)=|x-3|-|x-2|={1,𝑥≤2,5-2𝑥,2𝑥3,-1,𝑥≥3,∴f(x)≤-12等价于{𝑥≤2,1≤-12或{5-2𝑥≤-12,2𝑥3或{𝑥≥3,-1≤-12.解得114≤x3或x≥3,∴不等式的解集为{𝑥|𝑥≥114}.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤32.∴实数a的取值范围是(-∞,32].10.解:(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)={-2𝑥,𝑥-1,2,-1≤𝑥≤1,2𝑥,𝑥1.作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为{𝑥|𝑥≤-32或𝑥≥32}.(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a1,则f(x)={-2𝑥+𝑎+1,𝑥≤𝑎,1-𝑎,𝑎𝑥1,2𝑥-(𝑎+1),𝑥≥1,f(x)的最小值为1-a;若a1,则f(x)={-2𝑥+𝑎+1,𝑥≤1,𝑎-1,1𝑥𝑎,2𝑥-(𝑎+1),𝑥≥𝑎,f(x)的最小值为a-1.故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).