专题能力训练7

Gothedistance1专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值能力突破训练1.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0a34B.12a34C.a≥34D.0a122.(2015全国Ⅱ高考)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf'(x)-f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)3.(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f(1𝑘)1𝑘B.f(1𝑘)1𝑘-1C.f(1𝑘-1)1𝑘-1D.f(1𝑘-1)𝑘𝑘-14.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.55.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f(x)=aex+1𝑎e𝑥+b(a0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.Gothedistance29.(2015广东高考)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤√a-2𝑒3-1.10.已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,x∈R,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.思维提升训练11.若0x1x21,则()A.e𝑥2−e𝑥1lnx2-lnx1B.e𝑥2−e𝑥1lnx2-lnx1C.x2e𝑥1x1e𝑥2D.x2e𝑥1x1e𝑥212.(2015陕西高考)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.13.已知函数f(x)=1+ln(𝑥+1)𝑥.(1)求函数f(x)的单调区间;Gothedistance3(2)当x0时,若f(x)𝑘𝑥+1恒成立,求整数k的最大值.14.已知函数f(x)=lnx-12ax2+x,a∈R.(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥√5-12.15.(2015安徽合肥高三一模)设函数f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x,a∈R.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若y=f(x)的图象与x轴相切于原点,当0x2x1时,f(x1)=f(x2).求证:x1+x28.Gothedistance4参考答案能力突破训练1.C解析:(方法一)当a=1时,f(x)=(x2-2x)ex,f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=ex(x2-2),当-1≤x≤1时,x2-20,∴f'(x)0,∴f(x)在[-1,1]上是单调减函数,排除A,B,D,故选C.(方法二)f'(x)=ex[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则{𝑔(1)≤0,𝑔(-1)≤0,解得a≥34.2.A解析:当x0时,令F(x)=𝑓(𝑥)𝑥,则F'(x)=𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑥20,∴当x0时,F(x)=𝑓(𝑥)𝑥为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+∞)上,F(x)0,即当0x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)0;当x∈(-1,0)时,f(x)0.综上可知,f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.3.C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k0,∴函数F(x)在R上为单调递增函数.∵1𝑘-10,∴F(1𝑘-1)F(0).∵F(0)=f(0)=-1,∴f(1𝑘-1)−𝑘𝑘-1-1,即f(1𝑘-1)𝑘𝑘-1-1=1𝑘-1,∴f(1𝑘-1)1𝑘-1,故C错误.4.C解析:依题意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a0,-2+3=-2𝑏3𝑎,-2×3=𝑐3𝑎,则b=-3𝑎2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,即a2-a-20,解得a2或a-1.6.3x-y-2=0解析:y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min=3;当x=-1时,y=-5.故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.7.解:(1)f'(x)=aex-1𝑎e𝑥.当f'(x)0,即x-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上单调递增;当f'(x)0,即x-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减.①当0a1时,-lna0,f(x)在(0,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(-lna)=2+b;②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a+1𝑎+b.(2)依题意f'(2)=ae2-1𝑎e2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).所以a=2e2,代入原函数可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.8.解:f'(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时,f'(x)=3x2-2x+1,Δ=4-12=-80,Gothedistance5则f'(x)0,f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),f(x)没有单调递减区间.(2)当k0时,f'(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴为直线x=𝑘3,且过点(0,1).①当Δ=4k2-12=4(k+√3)(k-√3)≤0,即-√3≤k0时,f'(x)≥0,f(x)在[k,-k]上单调递增,从而当x=k时,f(x)取得最小值m=f(k)=k.当x=-k时,f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.②当Δ=4k2-12=4(k+√3)(k-√3)0,即k-√3时,令f'(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=𝑘+√𝑘2-33,x2=𝑘-√𝑘2-33,注意到kx2x10,(注:可用根与系数的关系判断𝑥1·𝑥2=13,x1+x2=2𝑘3𝑘,从而𝑘𝑥2𝑥10;或者由对称结合图象判断)则m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)}.∵f(x1)-f(k)=𝑥13-k𝑥12+x1-k=(x1-k)(𝑥12+1)0,∴f(x)的最小值m=f(k)=k.∵f(x2)-f(-k)=𝑥23-k𝑥22+x2-(-2k3-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]0,∴f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k0时,f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.9.解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(1+x2)'ex+(1+x2)(ex)'=(1+x)2ex≥0,故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)∵a1,∴f(0)=1-a0,且f(a)=(1+a2)ea-a1+a2-a2a-a=a0.∴函数f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1.又f(-1)=2e-a,即P(-1,2e-𝑎),∴kOP=2e-𝑎-0-1-0=a-2e.又f'(m)=(1+m)2em,∴(1+m)2em=a-2e.令g(m)=em-m-1,则g'(m)=em-1,∴由g'(m)0,得m0,由g'(m)0,得m0.∴函数g(m)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.∴g(m)min=g(0)=0,即g(m)≥0在R上恒成立,即em≥m+1.∴a-2e=(1+m)2em≥(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即√𝑎-2e3≥1+m.故m≤√𝑎-2e3-1.10.解:(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0,得x1=-1,x2=a0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+Gothedistance6f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当{𝑓(-2)0,𝑓(-1)0,𝑓(0)0,解得0a13.所以a的取值范围是(0,13).(3)当a=1时,f(x)=13x3-x-1.由(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-13,最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),则m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因为f(t)在[-3,-2]上单调递增,所以f(t)≤f(-2)=-53.故g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-13−(-53)=43.②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.因为f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,所以f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).因为f(1)=f(-2)=-53,f(-1)=f(2)=-13,从而M