专题能力训练17

Gothedistance1专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4√2,则△POF的面积为()A.2B.2√2C.2√3D.42.(2015全国Ⅰ高考)已知M(x0,y0)是双曲线C:𝑥22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,则y0的取值范围是()A.(-√33,√33)B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23)D.(-2√33,2√33)3.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M为抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为()A.2B.4C.6D.84.(2015广东高考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.𝑥24−𝑦23=1B.𝑥29−𝑦216=1C.𝑥216−𝑦29=1D.𝑥23−𝑦24=15.设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(m,n∈R),且mn=29,则该双曲线的离心率为()A.3√22B.3√55C.3√24D.986.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为.7.已知F是双曲线𝑥24−𝑦212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.8.(2015浙江高考)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.Gothedistance29.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ||PR|,求|𝑃𝑅||𝑃𝑄|的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x02)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.Gothedistance3思维提升训练11.(2015福建高考)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.(0,√32]B.(0,34]C.[√32,1)D.[34,1)12.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x13.设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.14.(2015甘肃天水一中模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M(0,15),N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.15.已知动点C是椭圆Ω:𝑥2𝑎+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程;Gothedistance4(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案能力突破训练1.C解析:利用|PF|=xP+√2=4√2,可得xP=3√2.则yP=±2√6.故S△POF=12|OF|·|yP|=2√3.2.A解析:由条件知F1(-√3,0),F2(√3,0),∴𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-√3-x0,-y0),𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3-x0,-y0),∴𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥02+𝑦02-30.①∵𝑥022−𝑦02=1,∴𝑥02=2𝑦02+2.代入①得𝑦0213,∴-√33y0√33.3.D解析:∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=𝑝2,∴𝑝2+𝑝4=6,∴p=8,故选D.4.C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=𝑐𝑎=54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1.5.C解析:在y=±𝑏𝑎x中令x=c,得A(𝑐,𝑏𝑐𝑎),B(𝑐,-𝑏𝑐𝑎),在双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1中令x=c得P(𝑐,±𝑏2𝑎).当点P的坐标为(𝑐,𝑏2𝑎)时,由𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得{𝑐=(𝑚+𝑛)𝑐,𝑏2𝑎=𝑚𝑏𝑐𝑎-𝑛𝑏𝑐𝑎,则{𝑚+𝑛=1,𝑚-𝑛=𝑏𝑐.由{𝑚+𝑛=1,𝑚𝑛=29,得{𝑚=23,𝑛=13或{𝑚=13,𝑛=23(舍去),∴𝑏𝑐=13,∴𝑐2-𝑎2𝑐2=19,∴e=3√24.同理,当点P的坐标为(𝑐,-𝑏2𝑎)时,e=3√24.Gothedistance5故该双曲线的离心率为3√24.6.54解析:因为抛物线的准线方程为x=-14,由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得点M到抛物线的准线的距离为32,故到y轴的距离为32−14=54.7.9解析:注意到点A在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F'(4,0),于是由双曲线性质|PF|-|PF'|=2a=4,而|PA|+|PF'|≥|AF'|=5,两式相加,得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时等号成立.8.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由{𝑦=𝑘(𝑥-𝑡),𝑦=14𝑥2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故{𝑦02=-𝑥02𝑡+1,𝑥0𝑡-𝑦0=0,解得{𝑥0=2𝑡1+𝑡2,𝑦0=2𝑡21+𝑡2.因此,点B的坐标为(2𝑡1+𝑡2,2𝑡21+𝑡2).(2)由(1)知|AP|=t·√1+𝑡2和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=𝑡2√1+𝑡2.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=𝑡32.9.解:(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为𝑦𝑥+1,MB的斜率为𝑦𝑥-1.由题意,有𝑦𝑥+1·𝑦𝑥-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由{𝑦=𝑥+𝑚,4𝑥2-𝑦2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+480,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程①的两根,因为|PQ||PR|,所以|xQ||xR|.因为xQ=𝑚-2√𝑚2+33,xR=𝑚+2√𝑚2+33,且Q,R在同一条直线上,所以|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=|𝑥𝑅𝑥𝑄|=2√1+3𝑚2+12√1+3𝑚2-1=1+22√1+3𝑚2-1.此时√1+3𝑚21,且√1+3𝑚2≠2,所以11+22√1+3𝑚2-13,Gothedistance6且1+22√1+3𝑚2-1≠53,所以1|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=|𝑥𝑅𝑥𝑄|3,且|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=|𝑥𝑅𝑥𝑄|≠53.综上所述,|𝑃𝑅||𝑃𝑄|的取值范围是(1,53)∪(53,3).10.解:(1)由题意可知𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2-x,1-y),𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2-x,1-y),𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2).∵|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+2,∴√4𝑥2+4(1-𝑦)2=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q(𝑥0,𝑥024),则S△QAB=2|1-𝑥024|=2(1-𝑥024).∵y=𝑥24,∴y'=12x,∴kl=12x0,∴切线l的方程为y-𝑥024=12x0(x-x0)与y轴交点H(0,-𝑥024),|PH|=|1-𝑥024|=1-𝑥024.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由{𝑦=-𝑥-1,𝑦=12𝑥0𝑥-𝑥024,得xD=𝑥0-22.由{𝑦=𝑥-1,𝑦=12𝑥0𝑥-𝑥024,得xE=𝑥0+22,∴S△PDE=12|xD-xE|·|PH|=1-𝑥024,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.思维提升训练11.A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.不妨设M(0,b),则|3×0-4𝑏|√32+42≥45,∴b≥1.∴e=𝑐𝑎=√1-(𝑏𝑎)2≤√1-(12)2=√32.又0e1,∴0e≤√32.故选A.12.C解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+𝑝2=5,则x0=5-𝑝2.因为点F的坐标为(𝑝2,0),所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·(𝑥-𝑝2)+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即𝑦022-4y0+8=0,解得y0=4.Gothedistance7由𝑦02=2px0,得16=2p(5-𝑝2),解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.13.√52解析:利用渐近线与直线方程求出交点A,B的坐标,进而得出中点C的坐标;由|PA|=|PB|可知,PC与直线x-3y+m=0(m≠0)垂直,