2017-2018年人教A版选修1-2《第三章学业质量标准检测试卷》含解析

第三章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i(3－2i)＝导学号18674454(C)A．2－3iB．3＋2iC．2＋3iD．3－2i[解析]i(3－2i)＝3i－2i2＝3i＋2，故选C．2．(2016·北京文，2)复数1＋2i2－i＝导学号18674455(A)A．iB．1＋iC．－iD．1－i[解析]1＋2i2－i＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝5i5＝i.3．(2016·云南芒市一中高二检测)已知i为虚数单位，则i1＋3i＝导学号18674456(B)A．34－14iB．34＋14iC．32＋12iD．32－12i[解析]i1＋3i＝i1－3i1＋3i1－3i＝i＋34＝34＋14i.4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于导学号18674457(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2等于导学号18674458(C)A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i[解析]2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.6．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于导学号18674459(D)A．1＋52iB．－1＋52iC．1－52iD．－1－52i[解析]设x＝it(t∈R且t≠0)，于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，∴y＝－12t＋1＝－3－y，∴t＝－52y＝－1.∴x＋y＝－1－52i.7．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的导学号18674460(A)A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]z是纯虚数⇔x2－1＝0x＋1≠0⇔x＝1，故选A．8．已知复数z满足2－iz＝1＋2i，则z＝导学号18674461(D)A．4＋3iB．4－3iC．－iD．i[解析]由2－iz＝1＋2i，得z＝2－i1＋2i＝2－i1－2i5＝2－4i－i－25＝－i，∴z＝i.9．若z＝cosθ－isinθ，则使z2＝－1的θ值可能是导学号18674462(B)A．0B．π2C．πD．2π[解析]z2＝cos2θ－2isinθcosθ－sin2θ＝cos2θ－isin2θ＝－1，∴cos2θ＝－1－sin2θ＝0，∴θ＝π2.10．若复数z＝lg(m2－2m＋2)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m的值为导学号18674463(C)A．1B．－4C．1或－4D．以上都不对[解析]由已知，得m2－2m＋20lgm2＋3m－3＝0，即m2－2m＋20m2＋3m－3＝1，解得m＝1或－4.11．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20131＋i，则复数z在复平面内对应的点位于导学号18674464(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵in＝in＝4k＋1，－1n＝4k＋2，－in＝4k＋3，1n＝4k，k∈Z，∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝503×(i＋i2＋i3＋i4)＋i2013＝503×0＋i＝i，∴z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i2，在复平面内的对应点(12，12)在第一象限．12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1]导学号18674465(B)A．1B．2C．3D．4[解析]∵ω1]．∴①左边＝(z1＋z2)z3，右边＝z1z3＋z2z3＝(z1＋z2)z3，左边＝右边，正确．②左边＝z1(z2＋z3)＝z1(z2＋z3)，右边＝z1z2＋z1z3＝z1(z2＋z3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z1z2)z3，右边＝z1(z2z3)＝z1(z2z3)，左边≠右边，不正确．④左边＝z1z2，右边＝z2z1，左边≠右边，不正确，选B．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x＝__1__，y＝__2__.导学号18674466[解析](x＋i)(1－i)＝x－xi＋i＋1＝(x＋1)＋(1－x)i＝y，∴x＋1＝y1－x＝0，∴x＝1y＝2.14．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝__6－2i__.导学号18674467[解析]∵z＝1－2i，∴z－＝1＋2i，∴z·z－＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝5＋1－2i＝6－2i.15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝76－4i.导学号18674468[解析]设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则a＝a2＋b2－3b＝－4，∴a＝76b＝－4.∴z＝76－4i.16．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)且a1－i＋b1－2i＝53＋i，则复数z在复平面对应的点位于第__四__象限.导学号18674469[解析]∵a、b∈R且a1－i＋b1－2i＝53＋i，即a1＋i2＋b1＋2i5＝3－i2，∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，∴5a＋2b＝155a＋4b＝－5，解得a＝7b＝－10.∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：导学号18674470(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？[解析]z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，即m＝1或2时，z为实数．(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，即m≠1且m≠2时，z为虚数．(3)由2m2－3m－2＝0m2－3m＋2≠0，得m＝－12，即m＝－12时，z为纯虚数．18．(本题满分12分)已知z＝1＋i，a、b∈R.若z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求a、b的值.导学号18674471[解析]∵z＝1＋i，∴z2＝2i，所以z2＋az＋bz2－z＋1＝2i＋a＋ai＋b2i－1－i＋1＝a＋2i＋a＋bi＝a＋2－(a＋b)i＝1－i.所以a＋2＝1a＋b＝1，所以a＝－1b＝2.19．(本题满分12分)已知z1、z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝z12＋i，且|z2|＝52，求z2.导学号18674472[解析]设z1＝x＋yi(x、y∈R)，∴(3＋i)z1＝(3＋i)(x＋yi)＝3x－y＋(x＋3y)i，∴x＋3y＝0，∴x＝－3y.∴z2＝z12＋i＝x＋yi2＋i＝x＋yi2－i5＝－3y＋yi2－i5＝－y＋yi，∵|z2|＝52，∴|z2|2＝50，∴(－y)2＋y2＝50，∴y＝±5，当y＝5时，z2＝－5＋5i，当y＝－5时，z2＝5－5i.20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2.导学号18674473(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．[解析](1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)、B(0,2)、C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12×2×1＝1.21．(本题满分12分)设z＝log2(1＋m)＋ilog12(3－m)(m∈R).导学号18674474(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．[解析](1)由已知，得log21＋m0，①log123－m0，②解①得－1m0.解②得m2.故不等式组的解集为{m|－1m0}，因此m的取值范围是{m|－1m0}．(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log12(3－m))在直线x－y－1＝0上，即log2(1＋m)－log12(3－m)－1＝0，整理得log2[(1＋m)(3－m)]＝1.从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，解得m＝1±2，且当m＝1±2时都能使1＋m0，且3－m0.故m＝1±2.22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，导学号18674475(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[分析](1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．[解析](1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝22.(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22＋sinθ＋22＝9＋42sinθ－π4.当sin(θ－π4)＝1时，|z－z1|取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值22＋1.解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝22＋1.