湖南省师大附中2014年高二上数学期末试题及答案(理)

命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月15日)满分：100分(必考试卷Ⅰ)50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i＋i2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x∈R，则xe的一个必要不充分条件是A.x1B.x1C.x3D.x33.若f(x)＝2cosα－sinx，则f′(α)等于A.－sinαB.－cosαC.－2sinα－cosαD.－3cosα4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z1，z2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z1，z2是虚数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为A.17或－1B.－17或1C.－1D.16.设F1，F2是椭圆x2a2＋y225＝1(a5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－2)f′(x)≤0，则必有A.f(－3)＋f(3)2f(2)B.f(－3)＋f(7)2f(2)C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数1－i1＋i10的值是.9.用反证法证明命题：“若x，y0，且x＋y2，则1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为.10.已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030成立.类似地，在等比数列{bn}中，有成立.11.曲线y＝sinx在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为.12.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为.13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为62，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)1，且f(4)＝1，则b＋1a＋1的取值范围是A.15，13B.－∞，13∪(5，＋∞)C.(－∞，3)D.13，5二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，则k＝.三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a、mln(b＋1)万元(m＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？4.(本小题满分13分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求TM·TN的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：||OR·||OS为定值.[来源:学|科|网]5.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线y＝f(x)x2与直线y＝m(m0)公共点的个数；(3)设函数h()x满足x2h′(x)＋2xh(x)＝f(x)x，h(2)＝f(2)8，试比较h(e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ又∵函数f(x)在[－4,5]上连续.∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a1＝32，a2＝74，a3＝158，….猜测an＝2－12n(5分)(2)①由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－12k，(8分)当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n∈N＋时，an＝2－12n都成立.(12分)16.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.(5分)(2)解：因为AH⊥PD，由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE＝3，此时tan∠EHA＝AEAH＝3AH＝62，在Rt△AOE中，EO＝AE·sin30°＝32，AO＝AE·cos30°＝32，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO·sin45°＝324，又SE＝EO2＋SO2＝34＋98＝304，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝SOSE＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(3，－1,0)，C(3，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(3，0,0)，F32，12，1，所以AE＝(3，0,0)，AF＝32，12，1.所以cos〈m，BD〉＝m·BD||m·||BD＝2×35×12＝155.因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题1.D【解析】由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)1即2a＋b4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b＋1a＋1∈13，5.二、填空题2.－1【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.三、解答题3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴f(x)＝110(10－x)＋mln(x＋1)＝mln(x＋1)－x10＋1，(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)(2)f′(x)＝mx＋1－110＝10m－(x＋1)10(x＋1)＝－[x－(10m－1)]10(x＋1)，令y′＝0，得x＝10m－1(8分)1°若10m－1≤1即0＜m≤15，则f(x)在[1,9]为减函数，当x＝1时，f(x)有最大值；新课标第一网2°若1＜10m－1＜9即15m1，则f(x)在[1,10m－1)是增函数，在(10m－1,9]是减函数，当x＝10m－1时，f(x)有最大值；3°若10m－1≥9即m≥1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x＝9时，f(x)有最大值.因此，当0＜m≤15时，投放B型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15m1时，投放B型电视机(10m－1)万元，农民得到的总补贴最大；当m≥1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a＝2，e＝ca＝32，∴c＝3，b＝a2－c2＝1；故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(3分)(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，所以y21＝1－x214.(*)(4分)由已知T(－2,0)，则TM＝(x1＋2，y1)，TN＝(x1＋2，－y1)，∴TM·TN＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－1－x214＝54x21＋4x1＋3方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cosθ，sinθ)，N(2cosθ，－sinθ)，不妨设sinθ0，由已知T(－2,0)，则TM·TN＝(2cosθ＋2，sinθ)·(2cosθ＋2，－sinθ)＝(2cosθ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cosθ＋3＝5cosθ＋452－15.(6分)故当cosθ＝－45时，TM·TN取得最小值为－15，此时M－85，35，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝1325.故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝1325.(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0＝y0－y1x0－x1(x－x0)，令y＝0，得xR＝x1y0－x0y1y0－y1，同理：xS＝x1y0＋x0y1y0＋y1，(10分)故xR·xS＝x21y20－x20y21y20－y21(**)(11分)又点M与点P在椭圆上，故x20＝4(1－y20)，x21＝4(1－y21)，(12分)代入(**)式，得：xR·xS＝4(1－y21)y20－4(1－y20)y21y20－y21＝4(y20－y21)y20－y21＝4.所以||OR·||OS＝||xR·||xS＝||xR·xS＝4为定值.(13分)方法二：设M(2cosθ，sinθ)，N(2cosθ，－sinθ)，不妨设sinθ0，P(2cosα，sinα)，其中sinα≠±sinθ.则直线MP的方程为：y－sinα＝sinα－sinθ2cosα－2cosθ(x－2cosα)，令y＝0，得xR＝2(sinαcosθ－cosαsinθ)sinα－sinθ，同理：xS＝2(sinαcosθ＋cosαsinθ)sinα＋sinθ，(12分)故xR·xS＝4(sin2αcos2θ－cos2