2015届高考数学文二轮专题训练专题六第1讲直线与圆

第1讲直线与圆考情解读考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离：d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一直线的方程及应用例1错误!未找到引用源。(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0(2)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件思维启迪(1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性．答案(1)B(2)C解析(1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点时，可设出其截距式为xa＋y2a＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0.(2)因为m＝1时，两直线方程分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)×m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故选C.思维升华(1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0答案C解析由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有y0－2x0＋1＝－1y0＋22＝x0－12＋1⇒x0＝1y0＝0，即B′(1,0)．因为B′(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝1－03－1＝12，所以直线AC的方程为y－1＝12(x－3)，即x－2y－1＝0.故C正确．热点二圆的方程及应用例2(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4思维启迪(1)确定圆心在直线x＝2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为23及圆与l2相切列方程组．答案(1)D(2)B解析(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a－2，半径为r，得a＋22＋32＝r2，|2a－4|4＋5＝r，解得满足条件的一组解为a＝－1，r＝2，所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.思维升华圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________________．答案(1)B(2)x2＋(y－1)2＝10解析(1)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，线段PQ的中点为M，由于|PQ|＝23，易得|CM|＝1.又|CM|＝|－3＋k|k2＋1＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则r2＝d2＋(|AB|2)2＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．思维启迪(1)先求出圆C的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA|＝2|MO|化为M点坐标满足的条件后，可知点M是两圆的交点．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和直线y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1，即1≤a2＋2a－32≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以圆心C的横坐标a的取值范围为0，125.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．(1)(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．－6B．－3C．－32D．3答案(1)4±15(2)C解析圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以(|a＋a－2|a2＋1)2＋12＝22，解得a＝4±15.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以|C1C2|＝a2＋b2＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由(a＋b2)2≤a2＋b22，得(a＋b)2≤18，所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时取“＝”．所以选C.1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟1．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________________．答案2555解析圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r2－d2＝222－3552＝2555.2．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．答案[－1,1]解析如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，