2015届高考数学文二轮专题训练专题七第1讲概-率

第1讲概率考情解读(1)选择、填空题中常考古典概型和几何概型的基本应用，难度较小．(2)解答题中常将古典概型与概率的基本性质相结合，侧重考查逻辑思维能力，知识的综合应用能力．1．概率的五个基本性质(1)随机事件的概率：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率是1.(3)不可能事件的概率是0.(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)若事件A，B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，P(A)＝1－P(B)．2．两种常见的概率模型(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②概率公式：P(A)＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)几何概型①特点：无限性，等可能性．②P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.热点一古典概型例1(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维启迪列举选法的所有情况，统计符合条件的方法数，然后使用古典概型的概率公式．解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括的事件有3个，故P(M)＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．则P(N)＝310.思维升华求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件A的概率P(A)＝mn.(1)若集合A＝{a|a≤100，a＝3k，k∈N*}，集合B＝{b|b≤100，b＝2k，k∈N*}，在A∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为________．答案1667解析易知A＝{3,6,9，…，99}，B＝{2,4,6，…，100}，则A∩B＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．A∪B中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.1136B.518C.16D.49答案D解析根据题目条件知所有的数组(a，b)共有62＝36组，而满足条件|a－b|≤1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P＝1636＝49.故选D.热点二几何概型例2(1)(2014·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78思维启迪(1)几何概型，试验结果构成的区域长度；(2)几何概型，试验结果构成的区域为面积．答案(1)B(2)C解析(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为p＝35.(2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知0≤x≤40≤y≤4|x－y|≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝S正方形－2S△ABCS正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.思维升华当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得函数f(x)＝1－x＋x＋3－1有意义的概率为________．(2)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.23D.12答案(1)23(2)D解析(1)由1－x≥0，x＋3≥0，得f(x)的定义域为[－3,1]，由几何概型的概率公式，得所求概率为P＝1－－33－－3＝23.(2)取边BC上的中点D，由PB→＋PC→＋2PA→＝0，得PB→＋PC→＝2AP→，而由向量的中点公式知PB→＋PC→＝2PD→，则有AP→＝PD→，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为12.热点三互斥事件与对立事件例3某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．思维启迪无人通晓两种外语说明抽1人，其通晓英语、通晓日语、通晓韩语是互斥的．解(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则xx＋y＋z＝12，yx＋y＋z＝310，0z≤3，解得x＝5，y＝3，z＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.(2)设通晓中文和英语的人为A1，A2，A3，A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2，乙为B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A1，B1)1种．所以甲和乙不全被选中的概率为1－110＝910.思维升华求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA2→·OA5→，共1种；数量积为－1的有OA1→·OA5→，OA1→·OA6→，OA2→·OA4→，OA2→·OA6→，OA3→·OA4→，OA3→·OA5→，共6种；数量积为0的有OA1→·OA3→，OA1→·OA4→，OA3→·OA6→，OA4→·OA6→，共4种；数量积为1的有OA1→·OA2→，OA2→·OA3→，OA4→·OA5→，OA5→·OA6→，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝715；因为去唱歌的概率为P2＝415，所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－415＝1115.1．互斥事件与对立事件的关系(1)对立一定互斥，互斥未必对立；(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(A)＝1－P(A)来求P(A)．2．古典概型与几何概型古典概型特点①有限性②等可能性计算公式P(A)＝A包含的基本事件个数m总的基本事件个数n几何概型特点①无限性②等可能性计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积错误!未找到引用源。真题感悟1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45答案C解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.故选C.2．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案0.18解析由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正＝1801000＝0.18，∵S正＝1，∴S阴＝0.18.押题精练1．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为()A.1180B.1288C.1360D.1480答案C解析因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41440＝1360.2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝π4＋12×1×1－π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝π－2π＝1－2π.3．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝23mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是()A.12B.23C.34D.56答案D解析所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件，则y′＝2mx2－n≥0对x≥1恒成立，又m0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即2m≥n，而2mn有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m≥n共30种．∴P＝3036＝56.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78答案D解析4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.2．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为()A.