第1章解斜三角形单元测试(苏教版必修5)

章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形）一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC中，如果A=60º，C=45º，且a=22,则c=。1.433。提示：由正弦定理得sin22sin4543sinsin603aCcA。2.在Rt△ABC中，C=090，则BAsinsin的最大值是_______________。2.12。提示：BAsinsin=1sincossin22AAA，故BAsinsin的最大值是12。3．在△ABC中，若Acbcba则,222_________。3.1200.提示：2221cos22bcaAbc，A=1200.4．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4.26。提示：A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300)=624.由正弦定理得0sin2sin1562sinsin30bAaB.5.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为.5.213.提示：∵三角形两边夹角为方程的根，不妨假设该角为，则易解得得53cos或cos2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos3523522三角形的另一边长。6.在△ABC中，已知a=52,c=10,A=30°,则∠B=。6.B=105º或B=15º。提示:由正弦定理可得sinC=sin10sin302252cAa,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。7.科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为亿光年。7.19。解：设地球为Ｏ，则根据条件，ＯＡ＝５，ＯＢ＝２，∠ＡＯＢ＝６０º，再利用余弦定理可得：22252252cos6019AB，故ＡＢ＝19。8.在中，，则a_______，________。8.。提示：，又。9.在中，化简___________9.a。提示：利用余弦定理，得aacbcacabcbab22222222。10.在ABC中，已知23a，62c，060B，则A=。10.600.提示：∵2222cosbacacB22(23)(62)223(62)cos45=8，∴22.b又∵sin0233sinsin45,222aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A11.在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是。11.50．提示：据题意，等腰三角形ABC中，顶角为A，底角B=C，∴A+2B=π，即A=π-2B，又∵sinA∶sinB=1∶2，∴sin(π-2B):sinB=1:2,即sin2B:sinB=1:2,解得1cos4B，再据条件：底边BC=10，∴三角形腰长AB=AC=52014，∴该三角形的周长是50。12.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27AD，那么BC=.12．9．提示：根据题意，如图所示：将BC边上的中线AD延长到点M，使AD＝DM，连接BM，则易知AC∥BM。∴在△ABM中，由AB＝4,AM＝7,BM＝AC＝7可得：2224772cos2477ABM，又∵∠BAC与∠ABM互补，∴cos∠BAC=27,∴在△ABC中，由余弦定理可得：222247247817BC，∴BC＝9.13．△ABC的三个角ABC，且２Ｂ＝Ａ＋Ｃ，最大边为最小边的2倍，则三内角之比为.13．1:2:3。提示：根据题意：△ABC的三个角ABC，且２Ｂ＝Ａ＋Ｃ，可得：B＝60º,且A＋C＝120º,又∵最大边为最小边的2倍，∴c=2a,∴据正弦定理可得：sinC=2sinA,将C＝120º－A代入该式可得：sin(120º-A)=2sinA,化简可得：33cossin22AA，故tanA=33,∴A=30º,C=90º,∴三角形三个内角之比为：A:B:C=1:2:3.ABCDM477214.已知三角形ABC中，有：22tantanaBbA，则三角形ABC的形状是。14.等腰三角形或者直角三角形。提示：设sinsinsinabcABC=k.可得：a=ksinA,b=ksinB,∴由条件22tantanaBbA可得：sin2AtanB=sin2BtanA,化简得：sinsincoscosABBA，即sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或者2A+2B=π，即A=B或者A+B=2，∴该三角形是等腰三角形或者直角三角形。二．解答题(本大题共6小题，共90分)15.在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2a，3c，1cos4B．（1）求b的值；（2）求sinC的值．15．解：（1）由余弦定理，2222cosbacacB，得222123223104b，10b．（2）方法1：由余弦定理，得222cos2abcCab41091082210，∵C是ABC的内角，∴236sin1cos8CC．方法2：∵1cos4B，且B是ABC的内角，∴215sin1cos4BB．根据正弦定理，sinsinbcBC，得153sin364sin810cBCb．16.如图1在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。16.解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-4，图12sin310=)4180sin(30。∵sin4=2sin2cos2，cos2=23,得2=30，=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15，答：所求角为15，建筑物高度为15m。解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h，在RtACE中,(103+x)2+h2=302，在RtADE中,x2+h2=(103)2，两式相减，得x=53,h=15，在RtACE中,tan2=xh310=33，2=30,=15。答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2=30x在RtADE中，sin4=3104,②①得cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m17.已知ABC中，cba,,分别为角CBA,,所对的边，且4a，5cb，BABAtantan33tantan，试求ABC的面积。（注：三角形ABC的面积公式为：S△ABC＝1sin2abC=1csin2aB=1csin2bA）.17.解：由BABAtantan33tantan。可得：tantan31tantanABAB，即：tan()3AB，∴tan3C，C＝3，又∵4a，5cb，∴c=5-b,∴由2222coscababC可得：225164bbb，解得：32b。∴△ABC的面积S△ABC＝1sin2abC＝332。18.在ABC△中，角ABC，，的对边分别为tan37abcC，，，．（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c．18.解：（1）sintan3737cosCCC，.又22sincos1CC,解得1cos8C．tan0C，C是锐角,1cos8C．（2）52CBCA，5cos2abC，20ab．又9ab,22281aabb．2241ab．2222cos36cababC．6c．19.已知三角形ABC中满足条件：2222()sin()()sin()abABabAB，试判断该三角形的形状。22()sin()abAB解法一：22()sin()abAB，∴整理可得：)]]sin()[sin(2BABAb2[sin()sin()aABAB，)1(cossin2cossin222ABaBAb即，，。，，，，。。解法二：0sinsinsinabckkABC设（），代入（1）式得，2222sin2sincossin2sincos,kBABkABA，，。，。20.2002年4月20日《文汇报》上的一则新闻《申城马路施工采用高科技非开挖技术——开膛破肚尴尬事少了》，由这则新闻引发设想提出问题：“将光缆从浦西江岸的A点处，穿过黄浦江引到浦东岸边的B点处，问需要准备多长的光缆？请你设计在黄浦江浦东一侧的测量方案（绘图比例：1：20000）解：可以考虑构造如下三种三角形，但操作的步骤大致相同：CAB1：20000测量步骤：定基线BC，测出BC的长度。利用测角仪测出角B角C的角度。解三角形ABC，得AB长度，再按比例最后得出实际中A、B两点间距离。备选题：1.已知△ABC的周长为9，且4:2:3sin:sin:sinCBA，则cosC的值为。CAB1：20000CAB1：20000AＢＡ1.-14。解：∵4:2:3sin:sin:sinCBA，∴由正弦定理可得：a:b:c=3:2:4,又∵△ABC的周长为9,∴可设三角形三边长分别为3k,2k,4k,得：3k+2k+4k=9,解得k=1,∴△ABC中，a=3,b=2,c=4,∴由余弦定理可得：2223241cos2324C。2.在中，A、B均为锐角，且，则的形状是_________。2.钝角三角形。提示：由得，A、B均为锐角，，而在上是增函数，，即，。3.在ABC中，2CA，3cos4A，272BABC，则AC=.3.5.提示：21coscos22cos108CAA，又3cos04A，故在ABC中，A、C是锐角∴7sin4A，37sin8C，∴9coscos()sinsincoscos16BACACAC。2727cos2422BABCacBac由正弦定理：32cossin2sin2cacAAAa，解得4a；c=6。∴2222cos25bacacB，∴5b。4.在△ABC中，abc、、是角ABC、、所对的边，且满足222acbac．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设(sin,cos2),(6,1)mAAn，求mn的最小值.17.解：(Ⅰ)∵222acbac，∴2221cos22acbBac，又∵0B，∴3B．（Ⅱ）6sincos2mnAA223112sin6sin12(sin)22AAA，∵203A，∴0sin1A．∴当sin1A时，取得最小值为5．5．要测底部不能到达的烟囱高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上相距为d的C、D处分别测得烟囱的仰角为和，已知测角仪器高h=1.52m，试完成如下《实验报告》：（结果精确到0.1m）题目测量底部不能到达的烟囱的高计算测量数据测量项目第一次第二次平均值15012'14048'74052'7508'd(m)65.7866.22测量目标（附图）结果5.解