对勾函数最值的十种求法

[e-mail]第1页共3页关于求函数01xxxy最小值的十种解法一、均值不等式0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny二、法0112yxxxxy若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍）找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny三、单调性定义设210xx21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。当1x取到最小值，21minfy四、复合函数的单调性2112xxxxyxxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增又x1,00,tx,1,0t原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增即当1x取到最小值，21min[e-mail]第2页共3页五、求一阶导2'111xyxxy当1,0x时，0'y，函数单调递减；当,1x时，0'y，函数单调递增。当1x取到最小值，21minfy六、三角代换令tanx，2,0，则cot1x2sin2cottan1xxy2,0,02当4，即22时，12sinmax，2miny，显然此时1x七、向量baxxxxy1111，1,1,1,bxxabacosbacos2a根据图象，a为起点在原点，终点在xy10x图象上的一个向量，cosa的几何意义为a在b上的投影，显然当ba时，cosa取得最小值。此时，1x，222miny八、图象相减xxxxy11，即y表示函数xy和xy1两者之间的距离求miny，即为求两曲线竖直距离的最小值[e-mail]第3页共3页平移直线xy，显然当xy与xy1相切时，两曲线竖直距离最小。xy1关于直线xy轴对称，若xy与xy1在1x处有一交点，根据对称性，在10x处也必有一个交点，即此时xy与xy1相交。显然不是距离最小的情况。所以，切点一定为1,1点。此时，1x，2miny九、平面几何依据直角三角形射影定理，设xEBxAE1,，则xxADAB1显然，xx1为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，xx1取得最小值。即四边形ABCD为矩形。此时，xx1，即1x，2miny十、对应法则设txfmin2xf221xx,0x，,02x，对应法则也相同txfmin2211222xxxfxxxf左边的最小值右边的最小值122ttt（舍）或2t当2xPx，即1x时取到最小值，且2miny