线性代数教案-第一章---线性空间

第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为ax.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2加法公理公理3(交换律)对于任意x,yV,有xyyx.公理4(结合律)对于任意x,y,zV,有)()(zyxzyx.公理5(零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意xV,有xθx.公理6(负元素存在性)对于任意xV,V中存在记为x的x的负元素,使θxx)(.1.1.3数乘公理公理7(结合律)对于任意xV,任意实数a和b,有xx)()(abba.公理8(加法分配律)对于任意x,yV及任意实数a,有yxyxaaa)(.公理9(实数相加分配律)对于任意xV,任意实数a和b,有xxxbaba)(.公理10(单位元素存在性)对于任意xV,有xx1.以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差yx定义为)(yx.(3)如果θxa,则0a或θx.(4)θx0；θθa；)()()(xxxaaa(5)若axay且0a,则xy.(6)若axbx且θx,则ab.(7)yxyxyx)()()(.(8)xxx2,xxxx3,一般地有:n个x相加等于nx.定义1.1.2设V是一个线性空间,S是V的一个非空子集.如果S对于V中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S为V的子空间.推论:线性空间V的非空子集S成为V的子空间的充分必要条件是:S中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3设S是线性空间V的一个非空子集.集合x＝kiia1xi︱kxx,,1S；kaa,,1R；k是任意正整数被称为S中元素的有限线性组合.由于这是V的一个子空间,故又被称为S生成的子空间,记为L(S)2线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1设S是线性空间V的一个子集合.如果S中存在由不同元素构成的有限集}{1kxx,,,以及不全为零的一组数kaa,,1,使kiia1xiθ(1.2.1)则S称是相关集(又称线性相关集).当kaa,,1不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素θ的一种非平凡表示.若S不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S中任意选定的不同元素kxx,,1,等式kiia1xiθ蕴涵了01kaa,则S是独立集.定理1.2.1设S}{1kxx,,是线性空间V中k个元素构成的独立集,L(S)是S生成的子空间.则L(S)中任何k＋1个元素构成的集合是相关的.3基维数与坐标定义1.3.1设S是线性空间V中的一个有限集.若S是独立集且V由S生成,则称S是V的一组有限基.若V有一组有限基或V只含零元素,则称V为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1设V是有限维线性空间,则V的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2若线性空间V有一组由n个元素组成的基,则称整数n为V的维数,记为dimVn.若}{θV,则规定dimV0.Rn的维数是n(这是称Rn为n维向量空间的缘由),}{1nee,,是其一组基,被称为Rn的常用基.定理1.3.2设V是n维线性空间,则(a)V中任何独立集必是V的某组基的子集；(b)V中任何由n个元素组成的独立集必是V的一组基.定义1.3.3在n维线性空间V中,给定确定了元素顺序的一组基}{1nee,,,则对任意xV,有xiniice1.(称x可表为这组基的线性组合,或称x可被这组基线性表示)其中系数ncc,,2是由元素x及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x在基}{1nee,,下的坐标,记为)(1ncc,,.4内积欧氏空间范数定义1.4.1设V是实线性空间.如果对于V中任意元素x和y,对应着唯一的实数,记为(x,y),满足以下4条公理:公理1(对称性))()(xyyx,,,公理2(加性))()()(zyyxzyx,,,,任意zV,公理3(齐性))()(yxyx,,cc,任意cR,公理4(正定性))(xx,≥0,当且仅当xθ时,0)(xx,,则称)(yx,是x,y的内积.并称V是一个欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间.定义1.4.2在欧氏空间中,非负实数)(xx,被称为元素x的范数,记为||||x.为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy—Schwarz)不等式)在欧氏空间中,有|)(|yx,≤||||x||||y.这里x,y是该空间中任意元素.当且仅当x与y相关时,上式取等号.定义1.4.3在欧氏空间中,任意两非零元素x和y之间的夹角(0≤≤)按下式定义||||||||)(cosyxyx,.注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1)||||x≥0,当且仅当θx,0||||x(正定性)；(2)||||||ccx||||x(正齐性)；(3)||||yx≤||||x||||y(三角不等式).这里,x,y是该空间任意元素,c是任意实数.5欧氏空间中的正交性定义1.5.1设是V一个欧氏空间.对于任意x,yV,如果0),(yx,则称x与y正交.又:设S是V的一个子集,若对于任意相异的x,yS有0),(yx,则称是S一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1在欧氏空间V中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dimVn，则任何一个包含n个非零元素的正交集是V的一组基.定理1.5.2设V是有限维欧氏空间,dimVn，}{1nSee,,是V的一组正交基.对于任意xV,若x关于基S的坐标是)(1ncc,,,则)()(jjjjceeex,,,nj,,1.若进一步假设S是一组标准正交基,则jc)(jex,,nj,,1.定理1.5.3设V是一个维欧氏空间,}{1nee,,是V的一组标准正交基.对于任意x,yV,若设x,y在这组基下的坐标分别是)(1naa,,,)(1nbb,,,则有)()()(1iniieyexyx,,,niiiba1(1.5.1)niniiia11222|)(|||||exx,.(1.5.2)定理1.5.4设}{21,,xx是欧氏空间V中的一个有限或无限序列,)(1kLxx,,表示由该序列前k个元素生成的子空间.那么,V中存在序列}{21,,yy,对于可能取到正整数k,具有以下性质:(1)元素ky与)(11-yykL,，中任意元素正交；(2))()(11kkLLxxyy,，,，；(3)除去数量因子,序列}{21,,yy是唯一的(即若另有序列}{21,,yy满足性质(1)和(2),则有实数kc使kykkcy,,,21k).1y1x,riiiiirrr1111)()(yyyyxxy,,,11kr,,.这里给出的由一组独立集}{1kxx,，来构造由非零元素组成的正交集}{1kyy,，的过程,称为施密特(Schmidt)正交化过程.而且,}{1kyy,，生成的子空间与}{1kxx,，生成的子空间完全相同.而当}{1kxx,，是有限维欧氏空间的一组基时,}{1kyy,，就是一组正交基.而且,每一个iy除以它的范数,就得到一组标准正交基.定理1.5.5任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6同构定义1.6.1设V,W是两个非空集合.若给定一个法则T,使V中任何元素x都有W中唯一确定的元素y与之对应,则称T是V至W的一个映射,记为T:V→W.y被称为x在T下的像,记为)(xTy.x被称为y在T下的原像.称V为T的定义域.称V中全体元素在T下的像集合为T的值域,记为T(V).据此定义知,V中元素x在T下的像是唯一的,但W中元素y在T下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2设T是V至W的映射.若T(V)W,则称为满射.据此定义知,T为满射的充分必要条件是:对任意yW,存在xV,使yT(x).但这样的x未必唯一.定义1.6.3设T是V至W的映射.若V中相异的元素在映射T下的像也相异,即若有21xx,则必有)()(21xTxT,则称T为单射.据此定义知,若)()(21xTxT蕴涵21xx,则T为单射.定义1.6.4若V至W的映射T既是满射又是单射,则称T为双射,又称为1-1映射.下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5设V,V均是线性空间.如果存在一个V至V的1-1映射T,对任意x,yV及任意实数c,满足性质:(1))()()(yxyxTTT,(2))()(xxTccT.则V和V是同构的.这样的映射T被称为V至V的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1任何n维线性空间与nR是同构的.定义1.6.6设V,V均是欧氏空间,如果存在V至V的线性1-1映射T,对任意x,yV,满足性质)())()((yxyx,,TT,(1.6.1)则称V和V是同构的.这样的映射T被称为V至V的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何xV,有||||||)(||xxT.故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何n维欧氏空间与nR是同构的.二、教学内容及学时分配：第一节线性空间的定义2课时第二节线性空间中的相关集和独立集2课时第三节基维数与坐标2课时第四节内积欧氏空间范数2课时第五节欧氏空间中的正交性2课时三、教学内容的重点及难点：1．线性空间的概念2．判定相关集和独立集；3．判定线性空间的基及维数；4．了解内积.欧氏空间.范数.及欧氏空间中的正交性。四、教学内容的深化和拓宽：1．具体三维空间与一般空间的一致性及特别性；2．空间概念中的抽象几何意义.五、思考题与习题124(3)5(2)6.8.910(4)1214151618六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。