稳恒电流

第九章稳恒电流一、主要内容本章内容包括电流、产生持续电流的条件、电阻、电压、电动势、内电阻、路端电压、电功、电功率等基本概念，以及电阻串并联的特点、欧姆定律、电阻定律、闭合电路的欧姆定律、焦耳定律、串联电路的分压作用、并联电路的分流作用等规律。二、基本方法本章涉及到的基本方法有运用电路分析法画出等效电路图，掌握电路在不同连接方式下结构特点，进而分析能量分配关系是最重要的方法；注意理想化模型与非理想化模型的区别与联系；熟练运用逻辑推理方法，分析局部电路与整体电路的关系三、错解分析在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：不对电路进行分析就照搬旧的解题套路乱套公式；逻辑推理时没有逐步展开，企图走“捷径”；造成思维“短路”；对含有电容器的问题忽略了动态变化过程的分析。例1如图9－1所示电路，已知电源电动势ε=6.3V，内电阻r=0.5Ω，固定电阻R1=2Ω，R2=3Ω，R3是阻值为5Ω的滑动变阻器。按下电键K，调节滑动变阻器的触点，求通过电源的电流范围。【错解】将滑动触头滑至左端，R3与R1串联再与R2并联，外电阻再将滑动触头滑至右端R3与R2串联再与R1并联，外电阻【错解原因】由于平时实验，常常用滑动变阻器作限流用（滑动变阻器与用电器串联）当滑动头移到两头时，通过用电器的电流将最大或最小。以至给人以一种思维定势：不分具体电路，只要电路中有滑动变阻器，滑动头在它的两头，通过的电流是最大或最小。【分析解答】将图9—1化简成图9－2。外电路的结构是R′与R2串联、（R3-R′）与R1串联，然后这两串电阻并联。要使通过电路中电流最大，外电阻应当最小，要使通过电源的电流最小，外电阻应当最大。设R3中与R2串联的那部分电阻为R′，外电阻R为因为，两数和为定值，两数相等时其积最大，两数差值越大其积越小。当R2+R′=R1+R3-R′时，R最大，解得因为R1=2Ω＜R2=3Ω，所以当变阻器滑动到靠近R1端点时两部分电阻差值最大。此时刻外电阻R最小。通过电源的电流范围是2.1A到3A。【评析】不同的电路结构对应着不同的能量分配状态。电路分析的重要性有如力学中的受力分析。画出不同状态下的电路图，运用电阻串并联的规律求出总电阻的阻值或阻值变化表达式是解电路的首要工作。例2在如图9－3所示电路中，R1=390Ω,R2=230Ω，电源内电阻r=50Ω，当K合在1时，电压表的读数为80V；当K合在2时，电压表的读数为U1=72V，电流表的读数为I1=0.18A，求：（1）电源的电动势（2）当K合在3时，两电表的读数。【错解】（1）因为外电路开路时，电源的路端电压等于电源的电动势，所以ε=U断=80V；【错解原因】上述解答有一个错误的“替代假设”：电路中的电流表、电压表都是理想的电表。事实上，问题并非如此简单。如果进一步分析K合在2时的情况就会发现矛盾：I1R1=0.18×390=70.2（V）≠80V，这就表明，电路中的电流表和电压表并非理想的电表。【分析解答】（1）由题意无法判断电压表、电流表是理想电表。设RA、Rv分别为电压表、电流表的内阻，R′为电流表与电阻器R1串联后的电阻，R″为电流表与电阻器R2串联的电阻。则K合在2时：由上述两式解得：R1=400Ωε=90V【评析】本题告诉我们，有些题目的已知条件隐藏得很深。仅从文字的表面是看不出来的。只好通过试算的方法判断。判断无误再继续进行解题。例3如图9－4所示，ε1=3V，r1=0.5Ω，R1=R2=5.5Ω，平行板电容器的两板距离d=1cm，当电键K接通时极板中的一个质量m=4×10-3g，电量为q=1.0×10-7C的带电微粒恰好处于静止状态。求：（1）K断开后，微粒向什么方向运动，加速度多大？（2）若电容为1000pF，K断开后，有多少电量的电荷流过R2？【错解】当电键K接通电路稳定时、电源ε1和ε2都给电容器极板充电，所以充电电压U=ε1+ε2。带电粒子处于平衡状态，则所受合力为零，F-mg=0ε2=U-ε1=1(v)当电键K断开后，电容器上只有电源给它充电，U′=ε2。即带电粒子将以7.5m/s2的加速度向下做匀加速运动。又Q1=CU=103×10-12×4=4×10－9CQ′=CU′＝103×10-12×1＝1×10-9C△Q=Q-Q′=3×10-9C极板上电量减少3×10-9C，也即K断开后，有电量为3×10-9C的电荷从R2由下至上流过。【错解原因】在直流电路中，如果串联或并联了电容器应该注意，在与电容器串联的电路中没有电流，所以电阻不起降低电压作用(如R2)，但电池、电容两端可能出现电势差，如果电容器与电路并联，电路中有电流通过。电容器两端的充电电压不是电源电动势ε，而是路端电压U。【分析解答】(1)当K接通电路稳定时，等效电路图如图9－5所示。ε1、r1和R1形成闭合回路，A，B两点间的电压为：电容器中带电粒子处于平衡状态，则所受合力为零，F-mg＝0在B，R2，ε2，C，A支路中没有电流，R2两端等势将其简化，U＋ε2=UAB，ε2=U-UAB=1.25V当K断开电路再次达到稳定后，回路中无电流电路结构为图9－6所示。电容器两端电压U′=ε2=1.25V即带电粒子将以6.875m／s2的加速度向下做匀加速运动。(2)K接通时，电容器带电量为Q=CU=4×1O-9CK断开时，电容器带电量为Q′=CU′=1.2×10-9(C)△Q＝Q—Q′=2.75×10-9C有总量为2.75×10-9(C)的电子从R2由下至上流过。【评析】本题考查学生对电容器充放电物理过程定性了解程度，以及对充电完毕后电容所在支路的电流电压状态是否清楚。学生应该知道电容器充电时，随着电容器内部电场的建立，充电电流会越来越小，电容器两极板间电压(电势差)越来越大。当电容器两端电压与电容器所并联支路电压相等时充电过程结束，此时电容器所在的支路电流为零。根据这个特点学生应该会用等势的方法将两端等势的电阻简化，画出等效电路图，如本题中的图9－5，图9－6，进而用电路知识解决问题。例4如图9－7所示，电源电动势ε=9V，内电阻r=0.5Ω，电阻R1=5.0Ω、R2=3.5Ω、R3=6.0Ω、R4=3.0Ω，电容C=2.0μF。当电键K由a与接触到与b接触通过R3的电量是多少？【错解】K接a时，由图9-8可知流过R3的电量为△Q=QC-Q′C=3×10－6(C)【错解原因】没有对电容器的充电放电过程做深入分析。图9－8图中电容器的上极板的电势高，图9－9中电容器的下极板的电势高。电容器经历了先放电后充电的过程。经过R3的电量应是两次充电电量之和。【分析解答】K接a时，由图9－8可知此时电容器带电量QC=CU1=I×10-5(C)K接b时，由图9－9可知此时电容器带电量Q′C=CU1=0.7×10-5(C)流过R3的电量为△Q=QC＋Q′C=1.7×10－5(C)【评析】对于电容电量变化的问题，还要注意极板电性的正负。要分析清电容器两端的电势高低，分析全过程电势变化。例5在电源电压不变的情况下，为使正常工作的电热器在单位时间内产生的热量增加一倍，下列措施可行的是()A、剪去一半的电阻丝B、并联一根相同的电阻丝C、串联一根相同的电阻丝D、使电热器两端的电压增大一任【错解】为原来的一半，所以选A、B。【错解原因】忽略了每根电阻丝都有一定的额定功率这一隐含条件。【分析解答】将电阻丝剪去一半后，其额定功率减小一半，虽然这样做在理论上满足使热量增加一倍的要求，但由于此时电阻丝实际功率远远大于额定功率，因此电阻丝将被烧坏。故只能选B。【评析】考试题与生产、生活问题相结合是今后考试题的出题方向。本题除了需要满足电流、电压条件之外，还必须满足功率条件：不能超过用电器的额定功率。例6如图9－10所示的电路中已知电源电动势ε=36V，内电阻r=2Ω，R1=20Ω，每盏灯额定功率都是2W，额定电压也相同。当K闭合调到R2=14Ω时，两灯都正常发光；当K断开后为使L2仍正常发光，求R2应调到何值？【错解】设所求电阻R′2，当灯L1和L2都正常发光时，即通过灯的电流达额定电流I。【错解原因】分析电路时应注意哪些是恒量，哪些是变量。图9－10电路中电源电动势ε是恒量，灯L1和L2正常发光时，加在灯两端电压和通过每个灯的电流是额定的。错解中对电键K闭合和断开两种情况，电路结构差异没有具体分析，此时随灯所在支路电流强度不变，两种情况干路电流强度是不同的，错误地将干路电流强度认为不变，导致了错误的结果。【分析解答】解法一：设所求阻值R′2，当灯L1和L2正常发光时，加在灯两端电压力额定电压UL。当K闭合时，ε1=UL+I1(R1+r+R2)当K断开时，ε2=UL+I2(R1+r+R′2)，又∵ε1=ε2=εI1=2I2=2I，(I为额定电流)得ε=UL＋2I(R1＋r＋R2)①ε=USL＋I(R1＋r＋R′2)②①-②I(R1＋r＋2R2-R2′)=0但I≠0，∴R1+r＋2R2=R′2即R′2=20+2+2×14=50Ω解法二：设所求阻值R′2，当灯L1和L2正常发光时，加在灯两端电压为额定电压UL，由串联电路电压分析可得：【评析】电路中的局部电路(开关的通断、变阻器的阻值变化等)发生变化必然会引起干路电流的变化，进而引起局部电流电压的变化。应当牢记当电路发生变化后要对电路重新进行分析。例7如图9－11所示，电源电压保持不变，变阻器R1的最大值大于R2的阻值，在滑片P自右向左滑动过程中，R1的电功率如何变化？【错解】采用“端值法”，当P移至最左端时，R1＝0，则Rl消耗的电功率变为0，由此可知，当滑片P自右向左滑动过程中，R1的电功率是变小的。【错解原因】由于题中R1＞R2，所以用端值法只假设R1=0是不够的。【分析解答】因此，在这两种情况时，R1的电功率都是P1＜U2/4R，且不难看出，Rl与R2差值越大，P1越小于U2／4R。综上所述，本题答案应是滑片P自右向左移动时，Rl的电功率逐渐变大；当R1=R2时R1的电功率最大；继续沿此方向移动P时，R1的电功率逐渐变小。【评析】电路中某电阻消耗的功率，不止是由本身电阻决定，还应由电路的结构和描述电路的各个物理量决定。求功率的公式中出现二次函数，二次函数的变化不一定单调变化的，所以在求解这一类问题时，千万要作定量计算或者运用图像进行分析。例8如图9－12所示电路，当电键K依次接a和b的位置时，在(1)R1＞R2(2)Rl=R2(3)R1＜R2三种情况时，R1、R2上消耗的电功率哪个大？【错解】(l)根据P=I2R可知，当R1＞R2时，P1＞P2；当R1=R2时，P1=P2；当Rl＜R2时，P1＞P2。当R1＞R2时，P1＜P2；当R1=R2时，P1=P2；当R1＜R2时，P1＞P2。【错解原因】错误在于认为电路改变时其路端电压保持不变，U1=U2，应该分析当电键K接不同位置时，电路的结构不同，电路结构改变但ε，r不变。【分析解答】当电键K接不同位置时，电路的结构不同。(l)当R1＜R2时，若r2=R1R2P1-P2=0所以P1=P2；若r2＜R1R2P1-P2＜0所以P1＜P2；若r2＞RlR2P1-P2＞0所以P1＞P2(2)当R1＞R2时，若r2=R1R2P1-P2=0，所以P1=P2；若r2＜R1R2P1-P2＞0所以P1＞P2；若r2＞R1R2【评析】解决电路问题先审题，审题过后有的同学头脑中出现许多公式，他从中选择合适的公式，有的同学则从头脑中搜寻以前做过的题目，看有没有与本题相似的题目，如果有相似的题目，就把那道题的解题方法照搬过来。这些方法不一定错，但是一旦问题比较复杂，或者题目叙述的是一个陌生的物理情境，这些方法就不好用了。所以，规范化的解题步骤是必不可少的。例9如图9－13所示电路中，r是电源的内阻，R1和R2是外电路中的电阻，如果用Pr，P1和P2分别表示电阻r，R1，R2上所消耗的功率，当R1=R2=r时，Pr∶P1∶P2等于[]A、1∶l∶1B、2∶1∶1C、1∶4∶4D、4∶l∶1【错解】因为R1=R2=r，r与R1，R2并联，它们电压相同，【错解原因】认为电