直线与圆的位置关系教学案例设计

直线与圆的位置关系教学案例设计丰城一中张国良学情分析学生具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象．为了加强他们的自学能力，提高课堂效率，根据他们的特点，本节课以学生自主探究方式完成学习，选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和自信心．教学目标知识与能力目标：1.知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系；2．能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。3．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。过程与方法目标：让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。情感态度与价值观目标：通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养学生合作交流的科学态度。教学重点与难点教学重点直线和圆位置关系的判断和应.教学难点通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。教学方法情景教学法、问题探究法、小组合作讨论、体验学习法教学准备学生准备圆规，直尺，圆形纸片3个教师准备制作多媒体课件，搜集生活中直线与圆的位置关系的图片.教学方法及设计思路在课堂教学中，必须以学生为主体，教师在教学中起主导作用。本节课主要是如何判断直线与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。整体思路创设情景→激发兴趣→自主探究,讨论归纳→得出新知→尝试练习→感知新知典例分析→应用新知→归纳方法,知识升华→课堂练习问题预设教学过程设计设计意图问题1通过何种方法可以确定点和圆的位置关系2.图示与数值之间有何种关系3.三条线段相比较你有和发现（一）复习提问问题1：前面我们学习了点和圆的位置关系？请大家回忆一下点和圆有几种位置关系．生：点在圆上，点在圆外，点在圆内．师：如何判断点与圆的位置关系的？生：点到圆心的距离与圆的半径的比较．设点到圆心的距离为d，圆的半径为r（1）当dr时，点在圆外．（2）当d=r时，点在圆上．（3）当dr时，点在圆内．问题2动手画出这几种对应的位置关系图师：（1）A点在圆内OAr；（2）B点在圆上OBr；（3）C点在圆外OCr．问题3如图，O是直线l外一点，A、B、C、D是直线l上的点，且OD⊥l，线段OD的长度是点O到直线l的距离．生：OD的长度是O到直线l的距离．师：我们分别以OA、OB、OC、OD为半径画圆，会到的怎样的图形小组之间欣赏：看看同学们画的图形通过问题引导学生复习回顾旧知，以实现对点与圆位置关系的归纳总结，能及时反馈旧知识的掌握情况，为直线与圆的位置关系的学习作好铺垫学生动手能可以使知识更加形象鲜明，形成知识能力4.看着初升的太阳我们不仅看到了美丽。还能看到什么？5.通过观察就可以解决的问题，为何要小组探究解决6.学生如何把圆心、直线圆三者相联系？（二）探索新知1.创设情境：给出一段太阳东升西落的视频，让学生在美的境界中进入学习状态．观察在太阳升起的过程中，其周边与地平线有几个交点？我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现，直线和圆在相对运动过程中会有三种不同的位置关系．请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些不同点（引导学生观察图形，发现问题）直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同．（将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义）问题1那大家想一想，直线与圆公共点有几种情况呢？生：有三种，没有公共点，一个公共点，两个公共点．师：在黑板上画出这三种情况．dHOdHOdHO借助媒体演示，形象地得到圆与直线的位置关系，激发学生学习的兴趣.通过学生观察，“太阳”升起的过程中，太阳周边与地平线形成三中明显的位置关系画面用直线与圆展现交点情况：（1）没有交点（2）只有一个交点（3）有两个交点体现数形结合思想学生由想象过度到实物演示，让学生直观看到变化过程，由抽象到具体，形成知识7.数与形的结合在于抽象与形象的结合8.知识的双向应用对学生的认知有一定的影响，怎样解决？2.揭示课题——直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系只有、和三种（学生口述教师板书）1．直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．2．直线与圆有惟一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．3．直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离．3.得出新知：直线与圆的三种位置关系中r和d满足的关系：直线与圆相离＜＝＞d﹥r直线（切线）与圆相切＜＝＞d﹦r直线（割线）与圆相交＜＝＞d﹤练习１．已知圆的半径是5.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=7.5cm时，直线与圆有个公共点，当d=5cm时，直线与圆有个公共点，当d=5.5cm时直线与圆有个公共点。问题2.如何结合圆心与直线的距离看待直线与圆的位置关系师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形相交两个相切一个相离没有让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有．这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望激发他们学习数学的兴趣，渗透数学结合思想9.知识学习简单，应用不易，如何转换学生的双向思维10.知识应用结合前知，有一定的困难要小组先讨论，解决问题的突破点在哪？练习2：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d=5，若⊙O与直线l至少有一个公共点，则r需满足的条件是。问题3如何利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．教师巡视，督促自学和学法指导，引导学生解决自学过程中存在的问题．直线l和⊙O相交dr直线l和⊙O相切d=r直线l和⊙O相离dr4.例题讲解例1.已知⊙O的直径为10．（1）如果圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）如果圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（3）如果圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？解析：判断直线与圆的位置关系要考虑那几个量，已知中有怎样的量?它们与你需要的量之间又怎样的关系？学生小组讨论后，形成解题思路，老师指导，可独立写出过程解：（1）⊙O的半径为5即r=5圆心O到直线l的距离为4可以得出d=445符合dr所以直线l和⊙O相交学生独立完成（2）（3）巩固已有知识形成知识的双向应用对已有知识系统理解应用详细过程为了是学生思维形成有理有据，为了阐明数学逻辑的严密性例2在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm(3)r=3cm．分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d。即圆心C到AB的距离d=2.4cm所以(1)当r=2cm时,有dr,因此⊙C和AB相离。分类讨论思想．锻炼学生的思维的严谨性.先作辅助线；然后求出圆心到直线的距离；下面再作出比较，并下结论．分层设计练习（三）知识应用，解决问题1．下列直线是圆的切线的是（）A、与圆有公共点的直线．B、到圆心的距离等于半径的直线．C、到圆心距离大于半径的直线．D、到圆心的距离小于半径的直线．2．⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A．dRB．dRC．dRD．dR3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，1.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，上述结论中正确的个数是（）A．0个B1个C．2个D．3个4．△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是_____．（2）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是_____（3）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是_____知识归纳图形直线与圆的位置关系相离相切相交公共点个数012圆心到直线的距离d与半径r的关系drd=rdr公共点的名称切点交点直线名称切线割线教学反思：在讲解直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。然后老师在多媒体打出图表。本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。