高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地OBOA,及任一向量OC，ROBOAOC，，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线AB时，1k；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，1,0k；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，,1k；（4）当等和线过O点时，0k；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；简证，如图1若ODOC，那么ODOByOAxOByOAxOC，从而有1yx，即yx．另一方面，过C点作直线ABl//，在l上任作一点'C，连接''DABOC，同理可得，以OBOA,为基底时，'OC对应的系数和依然为.三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若ADABAP，则的最大值（）A.3B.22C.5D.2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633与圆相切时，最大，此时33ABABABEFBEABABAF,故选A.练习1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，ABOM//，点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OByOAxOP（1）则x的取值范围是；（2）当21x时，y的取值范围是.【分析】(1),根据题意，很显然0x；（2）由平面向量基底等和线定理可知，10yx，结合21x，可得2321y.练习2：(衡水中学2018届高三二次模拟)如图4，边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含短点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量RnmAFnABmAP,，则nm的取值范围是（）A.2,1B.6,5C.5,2D.5,3【分析】如图5，设AFnABmAP1，由等和线结论，22ABABABAGnm.此为nm的最小值；同理，设AFnABmAP2，由等和线结论，5ABAHnm.此为nm的最大值.综上可知5,2nm.衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633（二）基底起点不同例2：（2013年江苏高考第10题）设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，且有,32,21BCBEABAD若RACABDE2121,，则21的值为【分析】过点A作DEAF,设BCAF,的延长线交于点H，易知FHAF，即FHAF，即DF为BC的中位线，因此2121.练习3：如图7，在平行四边形ABCD中，NM,为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点，Q为SMN内一点（含边界），若BNyAMxPQ，则yx的取值范围是.【分析】如图8所示，作AMPS，BNPT，过I作直线MN的平行线，由等和线定理可知，1,43yx.（三）基底一方可变例3：在正方形ABCD中，如图9，E为AB中点，P以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设APyDExAC，则yx的最小值为.衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633【分析】由题意，作DEAK，设ACAD，直线AC与直线PK相交与点D，则有APyAKxAD，由等和线定理，1yx，从而1yx，当点P与点B重合时，如图10，2max，此时，21minyx．练习4：在平面直角坐标系xoy中，已知点P在曲线0412xxy：上，曲线与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点1,2D和0,1E满足ROPCEOD,则的最小值为___.【分析】作OACE，令ODxOD1,有OPxOAxOD1，由等和线定理，1xx，所以x1，如图11，再由等和线定理，得21min.（四）基底合理调节例题4：（2013年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点BA,满足2OBOAOBOA，则点集ROBOAOPP,,1,所表示的区域面积是（）A.22B.32C.24D.34【分析】由2OBOAOBOA可知，3,OBOA.如图12所示，当00，时，若1，则点P位于线段AB上；当00，时，若1，则点P位于线段'AB上；当00，时，若1，则点P位于线段BA'上；当00，时，若1，则点P位于线段''BA上；又因为1，由等和线定理可知，点P位于矩形''BABA内（含边界）.其面积344AOBSS.衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633练习5：如图13所示，CBA,,是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若OBnOAmOC，则nm的取值范围是.【分析】作OBOA,的相反向量11,OBOA，如图14所示，则11//BAAB，过O作直线ABl//，则直线l，11BA为以OBOA,为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为10，，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线l与直线11BA之间，所以0,1nm.练习6：如图15，在扇形OAB中，3AOB，C为弧AB上的一个动点，若OByOAxOC，则yx3的取值范围是．【分析】依题意，33OByOAxOC，令3'OBOB，重新调整基底',OBOA.显然，当C在A点时，经过1k的等和线，C在B点时经过3k的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和3,13yx.（五）“基底+”高度融合例5：已知三角形ABC中，6BC，ABAC2，点D满足ACyxyAByxxAD22，设ADyxf,，00,,yxfyxf恒成立，则00,yxf的最大值为.【分析】衡阳市数学学会衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以BC为x轴，中垂线为y轴建立直角坐标系，易知点B的轨迹方程是16522yx．取AC中点F，延长AB到E，且BEAB.于是，ACyxyAByxxAD22，ACyxyAByxxAD212，即有AFyxyAEyxxAD，从而EFD，进一步得到AKyxfyxf00,,,且有BGAK2，因为EF恒过ACE重心H，所以422BHBGAK，即4,max00yxf.思路2：如图17所示，同上分析，EFD.当EFAD时，ADyxf,取得最小值，此时ADyxf00,.易知AEFABC，则4rAHAD.四、解题总结1、确定等值线为1的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。运用等和线原理解题，过程方便、准确率高，极大提升了学生的学习热情与兴趣.2018年5月16日