高三物理巧用极限法分析临界问题

高三物理巧用极限法分析临界问题临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问题之一，这就要求我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从而找出解决问题的突破口的一种方法。下面通过几种情况的分析来体会：一、关键物理量“力F”【例1】如图1所示，物体A的质量为2kg，两轻绳AB和AC(LAB=2LAC)的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体A上，今在物体A上另施加一个与水平方向成α=600角的拉力F。要使两绳都能伸直，试求拉力F的大小范围。(g=10m/s2)分析与解如果F很小，由竖直方向平衡知轻绳AB中必有张力，当AC中张力恰为零时，F最小；如果F很大，由竖直方向平衡知轻绳AC中必有张力，当AB中张力恰好为零时，F最大。设物体的质量为m，轻绳AB中的张力为TAB，AC中的张力为TAC，F的最小值为F1，最大值为F2LAB=2LAC，有∠CAB=600由平衡条件有：F1sin600+TABsin600=mg,F1cos600=TABcos600F2sin600=mg以上各式代入数据得：F1=20√3/3N，F2=40√3/3N因此，拉力F的大小范围：20√3/3N＜F＜40√3/3N此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系TAB＞0，TAC＞0求解。二、关键物理量“加速度a”【例2】质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角θ=600的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图2所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）2√3m/s2，（2）4√3m/s2的加速度向右加速时，线对小球的拉力。分析与解很多同学看到题目就会不加分析的列方程求解，从而出现解出的结果不符合实际。其实，如果我们仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。当小球向右加速运动时，如果加速度a很小，小球压紧斜面，受力分析如图2—1；如果加速度a很大，小球将离开斜面，受力分析如图2—2。设小球对斜面的压力为零时，斜面体的加速度为a0（即临界加速度），受力分析得：a0=gcotθ=10√3/3（m/s2）（1）因为a=2√3（m/s2）＜a0，因此小球仍压紧斜面，由牛顿第二定律和平衡条件列方程有：Tcosθ-Nsinθ=ma,Tsinθ+Ncosθ=mg代入数据解得：T=m（gsinθ+acosθ）=1.2√3N（2）因为a=4√3m/s2＞a0，因此小球已飘离斜面，T=m√g2+a2=0.4√37N（此处也可按（1）的列式方法求解）。三、关键物理量“速度v/ω”【例3】如图3所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给TθGABCF600图1θGTNθTG图2—1图2—2图2—3abo小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力分析与解a处的分析很容易，只能为拉力；而b处则有两种可能。当v或ω很小时，小球的重力大于所需的向心力，杆对球的作用力为推力；v或ω很大时，小球的重力不足以提供小球所需的向心力，杆对小球的作用力为拉力。故正确答案为AB【例4】如图4—1所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为m、带电量为+q的有孔小球沿着穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为μ，设电场场强为E，磁感应强度为B，电场、磁场范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时的速度为多大？（2）当小球有最小加速度时的速度为多大？分析与解对小球受力分析，如图4—2，开始速度很小，所受的杆的弹力向右，大小N=qE-qvB，随着速度的增大，N减小，f=μN减小，加速度a=（G-f）/m增大；小球速度很大时，所受弹力向左，大小为N=qvB–qE，随着速度的增大，N增大，f=μN增大，加速度a=（G-f）/m减小，直至为零。（1）当N=qvB–qE=0时，小球有最大加速度v=E/B。（2）小球的最小加速度为a=0，则有mg=f，f=μN，N=qvB–qE由以上各式解得：v=mg/μqB+E/B四、关键物理量“动量/冲量”【例5】宇航员在某一星球上以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球又落回到原抛出点。然后他用一根长为l的细绳把一个质量为m的小球悬挂在O点，使小球处于静止状态，如图5所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I应满足什么条件？分析与解如果给小球的冲量I很小，小球在竖直平面内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量I很大，小球在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界速度，细绳中也有张力。宇航员所在星球的重力加速度：g=2v0/t设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为I1，小球获得的初速度的最大值为v1，由机械能守恒定律：（1/2）mv12=mgl解得I1=mv1=2m√v0l/t设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为I2，小球获得的初速度的最小值为v2，小球过最高点的临界速度为v临由机械能守恒定律：（1/2）mv临-（1/2）mv22=-mg2l由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv临2/l解得I2=mv2=m√10v0l/t所以，要使小球在运动过程中始终对细绳有力的作用，给小球的冲量：EBGfF1=qEF2=qvB图4—1图4—2·O图5I＜2m√v0l/t或I＞m√10v0l/t五、关键物理量“磁感强度B”【例6】M、N两板间相距为d，板长均为5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图6—1所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感强度B的范围应为多少？分析与解根据左手定则，电子受洛仑兹力向下，只要从板的最上端进入的电子不从板间穿出，则所有电子都不会从板间穿出。如果B很小，电子运动的轨道半径很大，将会从板的右端穿出，当电子恰好从N板的右边缘穿出时，B最小（如图6—2）；如果B很大，电子运动的轨道半径很小，将会从板的左端穿出，当电子恰好从N板的左边缘穿出时，B最大。（如图6—3）设电子不从板间穿出，磁感应强度最小值为B1，轨道半径为R1，电子的质量为m，带电量为e，则有：mv2/R1=evB1，R12=（5d）2+（R1-d）2解得B1=mv/13de设电子不从板间穿出，磁感应强度最大值为B2，轨道半径为R2，电子的质量为m，带电量为e，则有：mv2/R2=evB2，2R2=d解得B2=2mv/de因此，电子不从板间穿出，磁感强度B的范围是mv/13de＜B＜2mv/de六、关键物理量“厚度d”【例7】如图7—1所示、宽为a的平行光束从空气斜向射入到两个面平行的玻璃板表面，入射角为450，光束中包含两种波长的波，玻璃对这两种波长的光的折射率分别为n1=1.5,n2=√3。（1）求每种波长的光入射玻璃板上表面后的折射角；（2）为了使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度d至少为多少？分析与解两种波长的光射到玻璃板表面后，如果玻璃板的厚度d较小，光束从下表面出射时，仍相互交叠，如图7—2；如果玻璃板的厚度d较大，光束从下表面出射时，将分成不交叠的两束，如图7—3，临界厚度如图7—4。（1）设入射角为i，经玻璃板折射后，折射率为n1的光的折射角为r1，折射率为n2的光的折射角为r2，根据折射定律：n1=sini/sinr1，n2=sini/sinr2代入数据解得：r1=arcsin√2/3，r2=arcsin√6/6MNMNMN图6—1图6—2图6—3图7—1r1r2图7—3图7—2图7—4（2）如图9—3，由几何关系有：dtanr1–dtanr2=√2a又tanr1=√14/7，tanr2=√5/5代入数据解得：d=70a/（10√7–7√10）极限法分析临界问题在解题中的应用远不止这些，只要我们用心体会，定会收益匪浅，深感其妙。