2004年3月统考试题(文科)

试卷类型：A襄樊市高三年级统考试题数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．请考生将自己的学校、班级、姓名、学号填写在第Ⅱ卷密封线内．2．每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.m＝－2是直线(2－m)x＋my＋3＝0和直线x－my－3＝0互相垂直的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2.若指数函数y＝f(x)的反函数的图象经过点(2，－1)，则此指数函数是A．xy)21(B．xy2C．xy3D．xy103.把直线x－2y＋k＝0沿向量a＝(－1，－2)平移后，所得直线正好与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数k的值为A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－13如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnppCkP)1()(正棱台、圆台侧面积公式：lccS)(21台侧高或母线长表示斜长，分别表示上、下底面周、其中lcc台体体积公式：hSSSSV)(31台体表示高，分别表示上、下底面积、其中hSS4.若椭圆12222byax(a＞b＞0)的离心率为23，则双曲线12222byax的离心率为A．45B．25C．23D．455.不等式|11|x＜2的解集是A．(21，－1)∪(1，23)B．(－∞，21)∪(23，+∞)C．(－∞，1)∪(23，+∞)D．(－21，1)∪(23，+∞)6.函数f(x)＝|logax|(0＜a＜1)的单调递减区间是A．(0，a]B．(0，+∞)C．(0，1]D．[1，+∞)7.曲线2313xy在点(371，)处切线的倾斜角为A．30°B．45°C．135°D．150°8.关于x的方程02coscoscos22CBAxx有一个根为1，则△ABC中一定有A．A＝BB．A＝CC．B＝CD．A＋B＝29.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的大小为A．21arccosB．31arccosC．322arccosD．23arccos10.若函数)sin()(xxf对任意的实数都有)6()6(xfxf，则)6(f＝A．0B．1C．－1D．1或－111.从集合｛1，2，3，…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为A．3B．4C．6D．812.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是A．68B．132C．133D．260第1行1第2行23第3行4567…………襄樊市高三年级调研测试题(2004.3)数学(文史类)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：第Ⅱ卷共6页，用黑色签字笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号一二三总分171819202122得分二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将正确答案填在题中横线上．13.等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则a3＝．14.已知x、y满足：3005xyxyx，则z＝x＋2y的最大值是.15.某地区普通高中分为三类，A类学校共有学生4000人，B类学校共有学生2000人，C类学校共有学生3000人，现欲抽样分析某次考试的成绩，若抽取900份试卷进行分析，则从A类学校抽取的试卷份数应为．16.已知(4－a)n(3＋a)n的展开式中各项系数之和为an，(1＋5x)n的展开式中各项系数之和为bn，则nnnnnbaba53lim的值是．得分评卷人三．解答题：本大题共6小题，满分74分．17.(本大题满分12分)已知向量a＝(cos23x，sin23x)，b＝(2sin2cosxx，)，且x∈[0，2]．求函数f(x)＝a·b－｜a＋b｜的最小值．18.(本大题满分12分)在袋里装30个小球，其中彩球中有2个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．求：(1)从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率；(2)从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．得分评卷人得分评卷人19.(本大题满分12分)已知等比数列{xn}的各项为正数，数列{yn}满足nanxylog2(a＞0且a≠1)，设y3＝18，y6＝12．(1)求数列{yn}的前多少项和最大，最大值为多少？(2)是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．得分评卷人20.(本大题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝2a，AA1＝3a，D、E分别为A1C1、B1C的中点，点F在AA1上，且AF＝2a．(1)求异面直线A1C和BE所成的角；(2)求证：CF⊥平面B1DF．得分评卷人ABCA1B1C1EFD21.(本大题满分12分)直线l：y＝x＋1与曲线C：x2＋ay2＝1相交于P、Q两点．(1)当实数a为何值时，2)1(2||aPQ；(2)是否存在实数a，使得OP⊥OQ(O是坐标原点)？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．得分评卷人22.(本大题满分14分)已知a＞0，函数axxf3)(，x∈[0，+∞)，设x1＞0，记曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．(1)求l的方程；(2)设l与x轴交点为(x2，0)，证明：①x2≥31a②若311ax，则1231xxa．数学参考答案及评分标准(文史类)说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：AAABBCBABDDC二．填空题：13．114．1915．40016．31三．解答题：17．解：解：a·bxxxxx2cos21sin23sin21cos23cos2分|a＋b||cos|22cos22)21sin23(sin)21cos23(cos22xxxxxx4分]20[，x∴cosx≥0，因此|a＋b|＝2cosx23)21(cos21cos2cos2cos22cos)(22xxxxxxf6分]20[，x∴0≤cosx≤1∴当且仅当)(,21cosxfx时取得最小值23．12分18．(1)解：取3个球的方法数为4060330C2分得分评卷人设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C，则0)(AP，406010)(33035CCBP，4060120)(330310CCCP4分∵A、B、C为互斥事件∴P(A＋B＋C)=P(A)＋P(B)＋P(C)4061340601204060108分(2)解：记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则D为“3个球中没有红球”145281)(1)(330328CCDPDP12分19．(1)解：设{xn}的公比为q(q≠1)∵qxxxxyyannananannlog2log2)log(log2111∴{yn}为等差数列，设公差为d2分∵y3＝18，y6＝12，∴d＝－2∴yn＝y3＋(n－3)(－2)＝24－2n4分设前k项和为最大，则1211001kyykk∴前11项和与前12项和为最大，且最大值为1326分(2)解：由(1)得：2logaxn＝24－2n，∴xn＝a12－n，n∈N*8分若xn＞1，则a12－n＞1当a＞1时，n＜12，显然不存在满足条件自然数M10分当0＜a＜1时，n＞12，∴存在M＝12，13，14，…，使当n＞M时，xn＞1恒成立，且M的最小值为1212分20．方法一：(1)解：以1BBBCBA、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系∵AC＝2a，∠ABC＝90°∴AB＝BC＝a2从而A(a2，0，0)，C(0，a2，0)，A1(a2，0，3a)，B1(0，0，3a)，C1(0，a2，3a)2分∴D(aaa32222，，)，E(aa23220，，)ABCA1B1C1EFDxyz∴)322(1aaaCA，，，)23220(aaBE，，4分因此1431437||||cos11BECABECA∴1431437arccos6分(2)证：F(a2，0，2a)，)222(aaaCF，，，)02(1aaFB，，，)02222(1，，aaDB8分∵0022222221aaaaaDBCF02)2(0221aaaaaCFFB10分∴CF⊥B1D，CF⊥B1F∴CF⊥平面B1DF．12分方法二：(1)解：取A1B1中点G，连EG，则EG∥A1C，连BG则GE与BE所成的角即为异面直线A1C和BE所成的角2分在△BEG中，GEaCA213211，aGBBBBG2192121aCBBE2112114分∴14314372cos222GEBEBGBEGE∴1431437arccos6分(2)证：∵D是A1C1中点，∴B1D⊥A1C1，故B1D⊥平面A1ACC1因此B1D⊥CF8分在Rt△B1FC中，aBAFAFB3211211，在Rt△AFC中，aACAFFC2222在Rt△BB1C中，aBCBBCB11221110分∵B1F2+FC2=B1C2，∴CF⊥FB1∴CF⊥平面B1DF12分21．(1)解：由1122ayxxy得：(1＋a)x2＋2ax＋(a－1)＝0①若1＋a＝0，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故l与C只可能有一个交点，不合题意∴1＋a≠02分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则11122121aaxxaaxx，，且△＝4a2－4(a－1)(a＋1)＝4＞022122122)1(8]4))[(1(||axxxxkPQ4分若2)1(2||aPQ，则22)1(2)1(8aa，解得：a＝31或a＝3∴当a＝31或a＝3时，2)1(2||aPQ6分(2)解：)()(2211yxOQyxOP，，，若存在实数a，使OQOP，则0OQOPx1x2＋y1y2＝08分即x1x2＋(x1＋1)(x2＋1)＝02x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0∴1121)1(2aaaa＝0，解得：a＝1∴存在实数a＝1，使得OQOP12分22．(1)解：23)(xxf，∴曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线的斜率213xk∴切线l的方程为)(3)(12131xxxaxy，即axxxy3121234分(2)解：令y＝0得2131232xaxx①2131123113121313123)2()(32xaxaxaxaxax≥0(*)8分∴312ax，当且仅当311ax时等号成立．10分②∵311ax，∴(*)中“＝”不成立，故312ax12分213