2003年普通高校招生数学(文)统一考试(上海卷)

2003年普通高校招生数学(文)统一考试(上海卷)（文史类）本试卷共22道题，满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．函数)4sin(cos)4cos(sinxxxxy的最小正周期T=.2．若则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23xx.3．在等差数列}{na中，a5=3,a6=－2,则a4+a5+…+a10=.4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是.5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x||x|4},B={x|x2－4x+30},则集合{x|x∈A且}BAx=.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=.（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a1，公比为q的等比数列}{na的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=.9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nCnBnA其中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则nnSlim=.12．给出问题：F1、F2是双曲线201622yx=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tg|x|.B．y=cos(－x).C．).2sin(xyD．|2|xctgy.14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N)41,21(四点中，函数xay的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A．P．B．Q.C．M.D．N.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．若a0,则函数g（x）的图象关于原点对称.B．若a=1，0b2,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称D．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lhS4，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆02622yyxx关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{na（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021CaCaCaCaCaCaCa（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列}{na的前n项和，求：nnnnnnnnCSCSCSCSCS134231201)1(