08届高三数学二月月考试题2

08届高三数学二月月考试题班别：姓名：学号：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式0412xx的解集是（A）A．),2()1,2(B．(2,)C．)1,2(D．),1()2,(2．函数121cosxy的最小正周期为（C）A．4B．2C．4D．23．平面//平面的一个充分条件是（D）A．存在一条直线a.//a,//a．B．存在一条直线a，a,//a.C．存在两条平行直线ba,,ab,//a,//b．D．存在两条异面直线,,baab，//a,//b．4．已知,xy满足约束条件3005xyxyx，则2zxy的最小值为（A）A．3B．3C．5D．55．与曲线21yxe相切于P(,)ee处的切线方程是（其中e是自然对数的底（D）A．2yexB．2yexC．2yxeD．2yxe6．已知复数iz2，则666556446336226161zCzCzCzCzCzC的值是（D）A．8B．8C．i8D．i87、在数列na中，如果存在非零常数T，使得mTmaa对任意正整数m均成立，那么就称na为周期数列，其中T叫做数列na的周期。已知数列nx满足11nnnxxxNnn,2，且,0,1,121aaaxx当数列nx周期为3时，则该数列的前2007项的和为（D）A.668B.669C.1336D.13388．已知函数xxfx2log)31()(，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足0)()()(cfbfaf，若实数0x是方程0)(xf的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是(D)A．ax0B．bx0C．cx0D．cx0第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9．已知椭圆的离心率为0.5，焦距是2，则椭圆的标准方程是13422yx或13422xy。10．已知2,,1,2tba，若ba与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为,44,1．11．有三颗骰子A、B、C，A的表面分别刻有1，2，3，4，5，6，B的表面分别刻有1，3，5，7，9，11，C的表面分别刻有2，4，6，8，10，12，则抛掷三颗骰子后向上的点数之和为12的概率是18112、对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数][)(xxf称为高斯函数或取整函数.若(),,3nnnafnNS为数列na的前n项和，则nS3=232nn.▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分13.（2004春招北京理）在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为22cos14.（2007深圳一模理）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且DBAD3，设COD，则2tan2＝31.15．已知,1,abab则22abab的最小值是22三、解答题（共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题共12分）已知向量)sin,(cosa,)sin,(cosb,552||ba.（Ⅰ）求cos()的值;（Ⅱ）若02,02,且5sin13,求sin.解：（Ⅰ）(cos,sin)a,(cos,sin)b,coscossinsinab，.………………………………1分255ab,2225coscossinsin5,………………………………3分即422cos5,3cos5.……………………………6分（Ⅱ）0,0,022,………………………7分3cos5,4sin.5…………………………………9分5sin13,12cos13,……………………………10分sinsinsincoscossin412353351351365.…………………………………………………………12分17．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望．解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率4416;5525P………………6分（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，4，1(1)5P，414(2)5525P，24116(3)()55125P，3464(4)()5125P．的概率分布列为E=1×15＋2×425＋3×16125＋4×64125=369125．………………………………12分18．（本题满分14分）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；(Ⅱ)当k＝21时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：解法一(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.1234P154251612564125ABCDOP在Rt△ODF中,sin∠ODF=21030OFOD,∴PA与平面PBC所成角为arcsin21030(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.解法二：∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(22a,0,0).B(0,22a,0),C(-22a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴21(,0,),22ODah又21(,0,),,22PAahODPAOD∥PA,∴OD∥平面PAB.(Ⅱ)∵k=1,2则PA=2a,∴h=7,2a∴27(,0,),22PAaa可求得平面PBC的法向量1(1,1,),7n∴cos210(,)30||||PAnPAnPAn.设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos(,PAn)|=21030.∴PA与平面PBC所成的角为arcsin21030.(Ⅲ)△PBC的重心G(221,,663aah),∴OG=(221,,663aah).∵OG⊥平面PBC,∴,OCPB又2(0,,),2PBah∴2211063OCPBah,∴h=22a,∴PA=22OAha,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.19．（本小题共12分）已知函数).(3232)(23Rxxaxxxf（1）若1a，点P为曲线)(xfy上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(在xfy上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.解：（1）设切线的斜率为k，则1)1(2342)(22xxxxfk………2分又35)1(f，所以所求切线的方程为：135xy…………4分即.0233yx…………6分（2）342)(2axxxf，要使)(xfy为单调增函数，必须满足0)(xf即对任意的0)(),,0(xfx恒有…………8分0342)(2axxxfxxxxa4324322…………10分而26432xx，当且仅当26x时，等号成立，所以26a所求满足条件的a值为1…………12分20．（本小题满分13分）如图：点A是椭圆：22221(0)xyabab短轴的下端点．过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BP//x轴，9ABAP．（1）若B点坐标为（0，1），求椭圆方程；（2）若B点坐标为（0，t），求t的取范围．解：（1）直线:APyxb，由1yyxb得(1,1)Pb所以(0,1)(1,1)9ABAPbbb，即2(1)92bb将P（3，1）代入椭圆方程得：22911124aa故椭圆方程为：221124xy------------------6分（2）由ytyxb得(,)Ptbt，又(0,),(0,)AbBt，所以(0,),(,)ABtbAPtbtb，由9ABAP得3(0,0)tbtb所以P的坐标为(3,)t，将P(3,)t代入椭圆方程得：22291tab，即22229babt因为22ab，所以222222991bbbtbt，又3tb，所以93100962tt．------------------13分21．（本小题共14分）已知二次函数2()fxaxbx满足条件：①(0)(1)ff；②()fx的最小值为18.(1)求函数()fx的解析式；(2)设数列{}na的前n项积为nT,且()45fnnT,求数列{}na的通项公式；(3)在(2)的条件下,若5()nfa是nb与na的等差中项,试问数列{}nb中第几项的值最小?求出这个最小值。解：(1)由题知:814002ababa,解得1212ab,故211()22fxxx.………3分(2)221245nnnnTaaa,………………………………………………5分2(1)(1)211214(2)5nnnnTaaan,114(2)5nnnnTanT,…………………………………7分又111aT满足上式.所以14()5nnanN.…………………8分(3)若5()nfa是nb与na的等差中项,则25()nnnfaba,………………………9分从而21110()22nnnnaaba,得2239565()55nnnnbaaa.…………10分因为14()5nnanN是n的减函数,所以当35na,即3()nnN时,nb随n的增大而减小,此时最小值为3b;当35na,即4()nnN时,nb随n的增大而增大,此时最小值为4b.…………12分又343355aa,所以34bb,即数列{}nb中3b最小,且2223442245655125b.…………14分