高一数学第一学期期末学科竞赛

高一数学第一学期期末学科竞赛试题（本试卷满分150分，用时120分钟）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）1、若关于x的方程aax5322007有负数根，则实数a的取值范围为（）A、2(,)(5,)3B、3(,)(5,)4C、2(,5)3D、23(,)342、已知lgx的小数部分为a，则21lgx的小数部分为（）A、2a的小数部分B、12a的小数部分C、22a的小数部分D、以上都不正确3、过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有（）A、0条B、1条C、4条D、无数多条4、已知集合B是集合}100,,2,1{的子集，且对任意Bx，都有Bx2，则集合B中的元素最多有（）A、67个B、68个C、69个D、70个5、已知P为直线y=x+1上的一点,M、N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-2)2=1上的点.则|PM|-|PN|的最大值为（）A、4B、5C、6D、76、在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是（）A、17B、16C、11D、10二、填空题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分）7、已知函数xxf21log)(，设)(afax，)(bfby，)(cfcz，其中0cba1，那么x、y、z的大小顺序为_________。8、已知实数x、y满足55111511541545xxyy，则xy_____．9、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于10、若关于x的方程)(log122axx有正数解，则实数a的取值范围为__________。11、已知集合A={(x，y)|x2+y22xcos+2(1+sin)(1y)=0，∈R}，B={(x，y)|y=kx+3，k∈R}．若A∩B为单元素集，则k=______.12、对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式045][36][42xx的解集为.13、在△ABC中，AB＝30，AC＝6，BC＝15，有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角，比值ABCADBSS能写成nm的形式，这里m,n是互质的正整数，则m＋n＝.14、对任意实数x、y．定义运算x*y为：x*y=ax+by+cxy其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，则d=____________．三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15、设a＞0，函数f:(0，＋∞)→R满足f（a）＝1．如果对任意正实数x，y有2aafxfyfffxyxy，①求证：f（x）为常数．16、如图,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PEAD,PFBC,PGCD,M是线段PG和EF的交点,求证:MEMF.17、已知、是关于x的二次方程0222txx的两个根，且，若函数14)(2xtxxf．（Ⅰ）求)()(ff的值；（Ⅱ）对任意的正数1x、2x，求证：||2|)()(|21212121xxxxxxxxf．18、8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识.求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问,如果其中任何6个人中都有3个人两两认识,那么是否一定可以找出4个人两两认识?AB（1）CBA（2）C（3）参考答案：一、选择题（本题共6个小题，每小题6分满分36分）1、若关于x的方程aax5322007有负数根，则实数a的取值范围为（D）A.2(,)(5,)3B.3(,)(5,)4C.2(,5)3D.23(,)342、已知lgx的小数部分为a，则21lgx的小数部分为A、2a的小数部分B、12a的小数部分C、22a的小数部分D、以上都不正确3、过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有(C)(A)0条(B)1条(C)4条(D)无数多条4、已知集合B是集合}100,,2,1{的子集，且对任意Bx，都有Bx2，则集合B中的元素最多有（）（A）67个（B）68个（C）69个（D）70个5、已知P为直线y=x+1上的一点,M、N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-2)2=1上的点.则|PM|-|PN|的最大值为（C）A、4B、5C、6D、75、设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式PSPRPQ111（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数5、设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=31S△PQR·h=21(31PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，31S△PQR·d=31△PRS·d+31S△PRS·d+31△PQS·d=213dPQ·PRsinα+213dPS·PRsinα+213dPQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即dPSPRPQsin111=常数。故选D。6、在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，423(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C).二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）7、已知函数xxf21log)(，设)(afax，)(bfby，)(cfcz，其中0cba1，那么x、y、z的大小顺序为____xyz_____。8、已知实数x、y满足55111511541545xxyy，则xy_____．9、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于10、若关于x的方程)(log122axx有正数解，则实数a的取值范围为__(－2，0]__。11、已知集合A={(x，y)|x2+y22xcos+2(1+sin)(1y)=0，∈R}，B={(x，y)|y=kx+3，k∈R}．若A∩B为单元素集，则k=__3____.12、对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式045][36][42xx的解集为12、解045][36][42xx得215][23x，故7][2x所以82x13、在△ABC中，AB＝30，AC＝6，BC＝15，有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角，比值ABCADBSS能写成nm的形式，这里m,n是互质的正整数，则m＋n＝13、设BC中点为E，AD＝2x，由中线公式得AE＝257故2222)2572()215()2()30(xx，572165xnm＝382722AEADSSAEBADB所以m＋n＝27＋38＝6514、对任意实数x、y．定义运算x*y为：x*y=ax+by+cxy其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，则d=____________．【题说】1985年全国联赛一试题2(4)．原题为填空题．【解】由所设条件，有1*2=a+2b+2c=3(1)2*3=2a+3b+6c=4(2)x*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x(3)由(3)得a+cd=1(4)bd=0(5)因d≠0，故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最后由(4)式得d=4．三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15、设a＞0，函数f:(0，＋∞)→R满足f（a）＝1．如果对任意正实数x，y有DBCAE2aafxfyfffxyxy，①求证：f（x）为常数．（朱华伟提供）证：在①中令x＝y＝1，得f2（1）＋f2（a）＝2f（1），（f（1）－1）2＝0，∴f（1）＝1。在①中令y＝1，得f（x）f（1）＋f（ax）f（a）＝2f（x），f（x）＝f（ax），x＞0。②在①中取y＝ax，得f（x）f（ax）＋f（ax）f（x）＝2f（a），f（x）f（ax）＝1。③由②，③得：f2（x）＝1，x＞0。在①中取x＝y＝t，得f2（t）＋f2（at）＝2f（t），∴f（t）＞0。故f（x）＝1，x＞0。14.(20分)如图,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PEAD,PFBC,PGCD,M是线段PG和EF的交点,求证:MEMF.证:作1AF⊥BC,1BE⊥AD(11,EF为垂足)则1112PEABPF11PEPF.设PG∩11EF＝k,因11ABFE共圆,11CFEAC.故11EF∥CDPK⊥11EFK是11EF的中点.(因△P11EF为等腰三角形),PEKF为平行四边形,(因P、E、K、F为四边形11ABFE各边中点).MEMF.(对角线互相平分).17、已知、是关于x的二次方程0222txx的两个根，且，若函数14)(2xtxxf．KMF1E1PCABDEFG（Ⅰ）求)()(ff的值；（Ⅱ）对任意的正数1x、2x，求证：||2|)()(|21212121xxxxxxxxf．（13）【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达容不得有2t，122)(2414)(22tf，22)(2414)(22tf，∴222)()(ff………………………………………5分（Ⅱ）已知函数14)(2xtxxf，∴222)1()22(2)(xtxxxf而且对],[x，0))((2222xxtxx，于是0)(xf，∴函数14)(2xtxxf在],[上是增函数……………………………………………10分注意到对于任意的正数1x、2x0)(2122121xxxxxxx，0)(2112121xxxxxxx即2121xxxx，同理2121xxxx．………………………15分∴)()()(2121fxxxxff，)()()(2121fxxxxff，)()()(2121