高一数学竞赛培训题(四)

高一数学竞赛培训题（四）函数的图象和性质1．作出下列函数的图象（1）22xxy；（2）22xxy2．设函数2)()(,1)()(,)(12010xfxfxfxfxxf，求函数)(2xfy的图象与x轴所围成的封闭部分的面积．3．k为何实数时，方程kxx322有四个互不相等的实数根．4．设*,7|NppaaA，在A上定义函数f如下：设Aa，则)(af表示a的数字之和，例如6)42(,7)7(ff．设函数f的值域是集合M，求证：2,|*nNnnM5．设实数yx,满足1)1(2001)1(1)1(2001)1(33yyxx，求yx的值．6．设函数)(xf对任意实数x满足：0)0(),7()7(),2()2(fxfxfxfxf．求证：0)(xf的根在区间]30,30[上至少有13个，且)(xf是以10为周期的周期函数．7．已知121),1(2210,21)(xxxxxf，定义*,)))((()(Nnxfffxfnn个（１）求)152(2001f（２）设]1,0[,)(|15xxxfxB，求证：B中至少含有9个元素．8．函数)(xf的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x，在定义域中存在21,xx，使得)()(,2121xfxfxxx，且满足以下三个条件：（１）21,xx是定义域中的数，)()(21xfxf或axx2021，则)()(1)()()(122121xfxfxfxfxxf；（２）1)(af（a是一个正常数）；（３）当ax20时，0)(xf．求证：（１）)(xf是奇函数；（２）)(xf是周期函数，并求出其周期；（３）)(xf在)4,0(a内为减函数．