高一数学竞赛(二试)注:本试卷可使用计算器.一、选择题:本大题共有10小题,每小题6分,满分60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。1、,ab为实数,集合,1,,0,:bMPafxxa表示把集合M的元素x映射到集合P中仍为x,则ab(A)1(B)0(C)1(D)12、21sin40cos201cos160化简的结果为(A)1sin40(B)1cos20sin20(C)1(D)13、已知(0,1),(2,2),(4,6)ABC,则AB在AC方向上的投影为(A)741(B)741(C)713(D)7134、在数列na中,1111,,4nnnaaaa则99a(A)125504(B)2500(C)124504(D)24015、已知函数()sin()(0,)fxxxR满足(1)()(1)fxfxfx对任意的xR都成立。若sin(9),sin(9)AxBx,则A与B的大小关系是(A)AB(B)AB(C)AB(D)不确定6、设,,abc为实数,440,20abcabc。则下列四个结论中正确的是(A)2bac(B)2bac(C)20baca且(D)20baca且7、设()sinfxxx,若12,,22xx且12()()fxfx,下列结论中必定成立的是(A)12xx(B)120xx(C)12xx(D)2212xx8、曲线5sin(2)6yx与直线yx的交点个数是(A)5(B)6(C)7(D)89、函数f定义在正整数有序对的集合上,并满足(,),(,)(,),fxxxfxyfyx()(,)(,)xyfxyyfxxy,则(14,52)f的值为(A)364(B)182(C)91(D)无法计算10、O是平面上一定点,,,ABC平面上不共线的三个点,动点P满足(),coscosABACOPOARABABCACBCA,则P的轨迹一定通过ABC的(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心二、填空题目:本大题共10小题,每小题6分,满分60分。要求直接将答案写在横线上。11、函数22(1)2yaxax在区间,4上递增,则实数a的取值范围是。12、平面点集(,)cossin,,1,2MxyyxZyx,用列举法表示M。13、已知数列na中,1212121,2,nnnnnnaaaaaaaa,则20071iia。14、已知sin(2)3sin,,(,)22knknZ,则tan()tan。15、已知实数,xy满足55(3)40xyxxy,则4xy。16、已知()fx是定义在0,上的增函数,当nN时,有(),()3,fnNffnn则(1)(2)ff。17、若1,,,,414141,abcabcRaaam则m最小值是。18、若x表示不大于x的最大整数,则使得2222log1log2log3log2007n成立的正整数n的最小值是。19、已知xR,则函数sincos()maxsin,cos,2xxfxxx的最大值与最小值的和等于。20、已知集合2211xkxMyyxx任取,,abcM以,,abc为长度的线段都能构成三角形,则实数k的取值范围为。三、解答题:本大题共2小题,每小题15分,满分30分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。21、已知二次函数2()(,,)fxaxbxcabcR满足条件:对任意实数x都有()2fxx;且当02x时,总有21()(1)2fxx成立。(1)求(1)f的值;(2)求(1)f的取值范围。22、已知函数()yfx满足21(,),(,1)axybxx,且1ab。如果存在正项数列na满足:321111,()()2nniiniiafanananN。(1)求数列na的通项;(2)证明:13niiai。参考答案一、选择题:CCBBBBDCAD二、填空题:11、1,0312、111(1,),(0,),(1,)22213、401414、215、016、517、2118、31419、21220、210,57三、解答题:21、解:(1)(1)2f5分(2)对任意实数x都有()2fxx,即2(2)0axbxc恒成立,∴20(2)40abac,由于(1)2,,22fabcacba。此时2211()(1)()(1)22fxxax,当02x时,总有21()(1)2fxx成立,10,(1)422afabca的取值范围是2,0。15分22、证明:(1)33211332211111,1(0),()(),,(1)nniiniinnnniiininiiiiabyxxxfanananNaaanaana又1211(1)(2)niniana两式相减得:111nnanan。则121211()(1)nnnnnaaaanNaaann5分(2)由(1)得:2211111211,(2)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(11)nniiiaiiiiiiiiiiiiiii22122111111()(1)2(1)211nnniiiiiiiii11111123221nn15分