华南理工大学高等数学 13届 统考卷下 (3)

共6页第1页高等数学下册试卷B2014．10．12姓名：学院与专业：学号：一、填空题[每小题4分，共20分]1.函数2222222,0,0,0xyxyxyfxyxy的连续范围是22,0xyxy2.设函数,zfxy在点00,xy处的全增量为z，全微分为dz，则,zfxy在点00,xy处的全增量与全微分的关系式是zdzo3.曲面2222321xyz在点1,2,2处的法线方程是22146yzx4.假设L为圆222xya的右半部分，则22Lxyds2a5.函数,arctanxfxyy在点0,1处的梯度是1,0二、（本题8分）函数22,,0,0,0,,0,0xyxyxyxyfxyxy，试研究在0,0点的可微性解000,00,0000,0limlim0xxxfxffxx，000,00,0000,0limlim0yyyfyffyy，函数在0,0点的全增量为22,0,0xyffxyfxyxy，由于3200220limlimxyfxyxyxy，共6页第2页当xky时3232022201limlim1xkyxkyyxykyxykyxyk与k有关，从而0,00,0xyffxfyo，由定义可知该函数在0,0点不可微。三、（本题8分）设xyzz，其中为可微函数,求zzxyxy解方程两边取微分2211xydxdzdydzzzzz整理得zzdzdxdyxyxy，于是,,zzzzzzxzyzxyzxxyyxyxyxyxy四、（本题8分）计算二重积分sinDydxdyy，其中D由抛物线2xy与直线xy所围成的闭区域（注：在原点处，补充定义被积函数为1）解作图，22111000sinsinsin1sinyyDyyyyydxdydydxxdyyydyyyy1110001coscos01sin1sin1yyydyy五、（本题8分）计算22Lxdyydxxy，其中L为下列闭曲线，沿反时针方向：（1）圆周22111xy；（2）曲线1xy。解在这里2222,yxPQxyxy，进而22222PyxQyxxy在0,0点以外成立且连续，从而（1）点0,0在L所围区域之外，由格林公式，可得22Lxdyydxxy=0；（2）点0,0在L所围区域之内，可以0,0为中心做一个适当小的圆，使得这共6页第3页个小圆包含在L的内部，取逆时针方向，设2221:Lxyr。从而L与1L的负向构成了所围成的区域的正向边界，且可用格林公式，得122LLxdyydxxy=0；从而11222221LLLxdyydxxdyydxxdyydxxyxyr，对新的积分在1L所围区域再用格林公式，得1122222111122LDxdyydxdxdyrxyrr（后面步骤也可用cos,sin,:02xrtyrtt代入去计算的，繁些）六、（本题8分）计算由曲面22xyaz和2220zaxya所围成立体的表面积。解由22xyaz和2220zaxya得22xyaz和222,zaxya，立体在xoy平面上的投影区域为222:Dxya，对22xyaz，222422,1xyxyxyzzdSdxdyaaa；对222zaxy，222222,11222xyxyzzdSdxdydxdyxyxy22222222220004441221128aaaSdrrdrardraaaa3322222222220244212112836aaaraaaaa七、（本题8分）计算曲面积分2()zxdydzzdxdy，式中是旋转抛物面2212zxy下侧介于平面z0及z2之间的部分。解取曲面221:2,4zxy，取上侧，配合构成立体的表面的外侧。用高斯公式11122()11(2)228zxdydzzdxdydvdxdy八、（本题6分）设曲线积分2Lxydxyxdy与路径无关，其中x连续可导，共6页第4页且00。（1）求x，（2）计算曲线积分1,120,0xydxyxdy。解（1）由曲线积分2Lxydxyxdy与路径无关，可得2xyyxxy，即2yxxy，得2xxc，再由00可得200,0,ccxx（2）1,11,12222220,00,01222Lxyxyxydxyxdyd九、（本题6分）求微分方程23xyyye的通解。解对应齐次方程20yyy的特征方程为2210rr，解得1,2121181,,142rrr。对应齐次方程通解为1212xxycece。非齐次项3xfxe与标准形式比较，得3,,0,1xxmPxeem，从而不是对应齐次方程的特征根，故待定的特解可设为*00xxyxQxeae，由于**xyyae，代入原方程，得3(2)3,2xxaaaeea，所以*32xye，于是非齐次方程通解为121232xxxycecee。十、[化工类做]（本题6分）已知容积为V的开顶长方体，当其尺寸怎样时，有最小的表面积。解十一、[化工类做]（本题7分）设n是曲面2212zxy在点1,2,3P处指向外侧的法向量，求函数22233xyzux在点1,2,3P处沿方向n的方向导数。证设00,Mxy为椭圆上任一点，令221,2Fxyxyz，则曲面2212zxy在点1,2,3P处001,2,3,,2,,12,2,1//,2xyzPnFFFxyxy，（确为指向外侧的法向量）单位化可得221,,333n，而共6页第5页2222222222222216(33)13(3)333322xxxxyzxyzuxxxyzxyzxx，2222221612,333322yzyzuuxxxyzxyzxx。从而M点的梯度为22222221,2,313(3)62,,332Pxyzyzgraduxxxxyzx213(129)12666,,18,12,63,2,1111244312921，故函数22233xyzux在点1,2,3P处沿方向n的方向导数为6221663,2,1,,6414333124Pgradun十二、[化工类做]（本题7分）求微分方程2201yyy的通解解十、[非化工类做]（6分）判断级数21tan2nnn的敛散性解因为2tan02nnun，而23132(1)tan1212limlimlim(1)122tan2nnnnnnnnnnuunn，从而由比值判别法得21tan2nnn收敛。十一、[非化工类做]（7分）将函数1xfxxe展开成麦克劳林级数，并指出其成立区间。解共6页第6页十二、[非化工类做]（7分）设函数fx是以2为周期的周期函数，它在,上的表达式为1,01,0xfxx，将其展开成傅里叶级数，并指出其成立范围。解