高等数学统考卷 11-12届 附答案

共5页第1页高等数学下册试卷2012．6．14姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共20分]1.03sinlimxyxyx32.设sinxxxy,则,44dzdx3.曲面20zzexy在1,2,0处的切平面方程是240xy4.假设:01,01Dxy,则xyDxed2e5.设L为2yx上0,0与1,1之间的弧段，则Lxds55112二、（本题8分）设函数f具有二阶连续偏导数,求函数,xufxy的混合二阶偏导数解:121uffxy从而21222212222222232111uxxxxffffffxyyyyyyyy同理（或由2uyx连续）可得2122222321uxxfffyxyyy三、（本题8分）求二元函数22zxxyy在点1,1沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向z的值不变。解2222zzdzxdxxdyydxydyxydxyxdydxdyxy1,11,11,1,2,23,3zzgradzxyyxxy共5页第2页方向导数1,113353,32,1555zgradzll沿梯度反方向减少得最快，即3,3方向，单位化为22,22沿垂直梯度的方向z的值不变，即1,10gradzT的T方向，解得22,22T四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设n是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：三重积分divndv,的面积证明设cos,cos,cosn，则由于高斯公式条件满足，从而有coscoscosdivndvdydzdzdxdxdycoscoscoscoscoscosdSdSdS222coscoscosdSdS的面积五、（本题8分）计算2222lnLxydxyxyxxydy,其中L是一段正弦曲线sin2yxx沿x增大方向解:令2222,lnPxyQyxyxxy,则22222,PyQyyyxxyxy，补线段1:0,:2Lyx从而1111122LLLLLLLDLDQPdxdyydxdyxdxxy20222223222sin11113sin3sincos23232xdxydyxxdxxdx22223113111343coscos11332333292xx另解原式2222212lnLLxydyxydxyxxydyII共5页第3页2222333221sinsinsinsinsin333LxxxxIxydyxxdxxddx23sin3xx22223223sin111140sincos1coscoscoscos333339xdxxdxxdxxx对于22222lnLIxydxyxxydy，由于令2222,lnPxyQyxxy,则2222,PyQyPQyxyxxyxy在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线0,:2yx为积分路径得2222222223ln22LxIxydxyxxydyxdx故原式24392六、（本题8分）计算1dSz,其中是球面2222xyza在平面0zhha之上的部分解由题意曲面为222zaxy，222222,zxzyxyaxyaxy则222221zzadSdxdydxdyxyaxy从而222222222111xyxyDDadSdxdyadxdyzaxyaxyaxy222222222222222000012ln2ahahahdarraddraaararar22lnln2lnln2lnaahaaahah七、（本题8分）计算曲面积分2Izxdydzzdxdy,其中为2212zxy介于0z与2z之间的部分得的下侧.共5页第4页解补平面区域221:24zxy取上侧.两曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式12110zxdydzzdxdydv1228Dzxdydzzdxdydxdy故原式0(8)8八、（本题7分）求微分方程20yyy的通解解设yp，则dpypdy，原式即为20,0dpypppdy或0dpypdy由0dpypdy，分离变量dpdypy，两边积分dpdypy，1lnlnlnpyc即1cdypdxy，从而212,ydycdxycxc为通解（2,cc为任意常数）注：如果看出2xyyyyy，则计算过程会简单些！九、（本题7分）求微分方程222xyyye的通解解对应的齐次方程的特征方程为21,2248220,12rrri对照非齐次项的标准形式,0,1xmfxPxem不是特征根，故0k特解的待定形式为*kxxmyxQxeae，代入非齐次方程，得2a从而原方程的通解为12cossin2xxyecxcxe十、（非化工类做）（本题7分）求幂级数2113231nnnxnn的收敛域.解11113134lim1,132311nnnnnRRRnn当1x时，由于211,2132319npnnn，p级数收敛，故幂级数共5页第5页111132313231nnnnnnn也收敛因此当1x时幂级数绝对收敛而收敛。从而收敛域为1,1十一（非化工类做）（本题7分）将函数2cosfxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解由于1cos22xfx，201cos1,,2!nnnxxxn；从而220111411211,,22!22!nnnnnnnfxxxxnn十二、（非化工类做）（本题7分）设函数1,0fxxx展开成正弦级数。.解:作奇延拓，再作周期延拓。由新函数的奇函数性质，00a，002221sin1cos1cos1nbxnxdxxdnxnnn2111,1,2,,nnn所以1,0,2~111sin0,0,nnfxxkfxnxnx12111sin,0,nnfxnxxn十、（化工类做）（本题7分）求微分方程0xxyye的通解十一、（化工类做）（本题7分）求221zxxyyxy的极值十二、（化工类做）（本题7分）验证222coscos2sinsinxyyxdxyxxxdy在整个xOy平面内是某一函数的全微分，并求出它的一个原函数（化工类，参考书上例题做，解略）