华南理工大学高等数学竞赛 08届 解答

第1页共4页华南理工大学2008年数学竞赛试卷一、单项选择题（本大题共15分，每小题3分）1.若713(1)lim101xfxfx，则fx在点1x处（C）(A）连续，但不一定可导；(B)必可导，但10f；(C)10f，但1f不是fx的极值；(D)10f，但1f是fx的极小值.2.设2(,)2ytxfxyxyedt，则0,1xyf（D）(A）12e；(B)12e；(C)12e；(D)12e.3..若函数fx在点0x处0fx及0fx都存在，则fx在点0x处（C）(A）不一定有定义；(B)有定义，但不一定连续；(C)连续，但不一定可导1；(D)必可导4.函数cosyuxez在点01,0,P处沿2,1,2l的方向导数0Pul（D）(A）3ij；(B)3ij；(C)1；(D)1.5、给定函数1fxcx满足方程211xfxftdt，其中c的取值情况应该是（B）(A)c可取任意常数；（B）2c；（C）2c；（D）2c二、填空题（本大题共15分，每小题3分）１.若2sin21,0,0axxexfxxax在,连续，则a2２.设21lim1nnxfxnx，则fx的间断点为0x_____________________…姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………第2页共4页３.曲线1ln0yxexx的渐近线方程为1yxe４.已知xxfexe，且10f，则fx21ln2x5.设1zfxyyxyx，其中,f具有二阶连续导数，则2zxyyfy三、（本题14分）设函数fx在0,1有二阶连续导数，且010ff，而0,0,1fxx，求证：104fxdxfx证明：由已知，存在(0,1)c使max0fcfxM所以11001fxdxfxdxfxM因为()fx在0,c上满足拉格朗日定理条件，所以1100,(0,)fcfcffcc，即1fcMfcc类似地，因为()fx在,1c上满足拉格朗日定理条件，所以2211,(,1)fcffcfcc，即21Mfc于是22111210111fxfxdxfxdxdxfffxMMfxM11411MMMcccc四、（本题14分）一细长梁，两端固定，受力变形后其形状如图中虚线所示（图略，其中中点与端点都有水平切线）。请根据变形后曲线的特点，写出可能描写曲线的方程yfx参考答案：420221681fxaxxll或2402282ln1axxllfxe第3页共4页或0024022816ln111aafxexexall或02cos12axfxl五、（本题14分）计算曲线积分223LxdyydxIxy，其中L为圆周22210xy上依逆时针方向自点3,1到点3,1的一段有向曲线解：由于在原点以外有2222222223333yxyxyxyxxyxy由曲线积分与路径无关的条件，可以改换路径22312xy，参数化为51323cos,:662sinxttyt或723cos,:662sinxttyt，1365614343129Idt六、（本题14分）计算曲面积分1coscoszxIexdydzdzdxezdxdyy，其中是由双曲线22935yxy绕y轴旋转所生成之旋转曲面，其法向量与y轴夹锐角解：是222935yxzy右侧取1：221,16yxz方向与y轴正向一致应用高斯公式522311116sinsin55zxyDDIxzdvdzdxdydzdxyy5223116945ydyy另外由于关于xoz和yoz对称，由第二型曲面积分的对称积分性质，可知24422000112949Idzdxdrdrryr七、（本题14分）设平面上的两条曲线12,LL都经过点1,1，已知1L上点的纵坐标y与横坐标x之比关于x的变化率等于2；而2L上点的纵坐标y与横坐标x之第4页共4页乘积关于x的变化率也等于2.求有这两曲线所围成的平面图形的面积。解：由已知212,:211dydxxLyxxy，121,:211dxydxLyxy121211922ln224Axxdxx备选题1、（本题14分）设有半径为R的球面，其中心恰在给定的球面2222xyza上，问R为何值时在定球面内部的面积最大并求这个最大值简答：设球心为0,0,a，则球面为2222xyzaR4222222212,:04RzaRxyDxyRRa1232322220043212,327RxyDRrdrRaSRzzdxdydRSaaRr备选题2、（本题14分）设已知连接两点2222,,0,1,1,22222AB的直线段AB，求线段AB绕z轴旋转所得倒的曲面的面积解：AB的方程为22022,02112xyzz，也即2222,0222zxzyzzz，曲面为22221,0221,0220zxyzzxzy绕z轴旋转而成2232220004214313Axzxzdzzdztdt32204121ln14ln232233tttt