华南理工大学高等数学 07届 统考卷下

共6页第1页高等数学下册试卷2008．7．4姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]设432zxyx，则1,2dz3412dxdy2、[4分]曲线cos:sinxatyatzct在点,0,0a的切线方程为0xayzac.3、[4分]已知2222,,0,0(,)0,,0,0xyxyxyfxyxyxy，则0,xfyy4、[4分]函数22zxy在点01,2P处沿从点01,2P到点12,23P方向的方向导数是1235、[4分]设L为取逆时针方向的圆周229xy，则曲线积分2224Lxyydxxxdy186、设L为直线yx上由点0,0A到点1,1B之间的一段，则曲线积分2Lxyds24.二、[7分]计算二重积分222,xyDxyedD.是由1,,0yxyx所围成的闭区域解：作图知:01,0Dyxy2222111220000022112yyxyxyxyyDexyeddyxyedxyedxyedy三、[7分]计算三重积分zdv，其中.由222222xyzzxy所确定共6页第2页解：由交线22221222220,1,2xyzzzzzzxy（舍去）于是投影区域为22:1Dxy，柱坐标下为2202,01,2rrzr222122146242000011172124612rrzdvdrdrzdzdrrrdr四、[7分]计算22222xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy，其中为半球222zaxy的上侧解：令2221:0,zxya取下侧。则1为半球体的外侧，由高斯公式原式122222222xyzdvxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy22522220000000sin22cos2sin5aaaDdddxydxdydrcorrdr425250022sin545araa（用对称性可以简化计算）五、[7分]计算1xydS，其中为抛物面221012zxyz解：22,,1xyzxzydSxydxdy，投影区域为22:2Dxy由对称性，原式22232220002211133133dSdrrdrr六、[7分]求22uxyz在约束条件2221xyz下的最大值和最小值解：令222221Lxyzxyz则2221111202332201322,,,233220122133xyzxxxLxLyyyoryLzxyzzzz122144122144,,3,,,3333333333333uu共6页第3页由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为3七、[7分]设,xzfxy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy.解：21212122222231111,zzxxfffffffxyxyyyyyy八、[7分]求微分方程20xyxedxxdy的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程1xyyxex由公式111lnlndxdxxxxxxxxxyexeedxcexeedxcxedxcxce九、[7分]设fx具有二阶连续导数，00,01ff，且20xyxyfxydxfxxydy是全微分方程，求fx其此全微分方程的通解。解：由全微分方程的条件知2221,222,,10,xxyfxfxxyfxfxxrri有特解有形式*2fxaxbxc，代入原方程得*22fxx从而通解21212cossin2,sincos2fxcxcxxfxcxcxx由初值条件121220,1,2,1,cccc因此22cossin2fxxxx原方程即为222cossin22sincos20xyxyxxxydxxxxxydy即222sincos22sincos202xydydxxxxxxdy22222sincos20,2sincos222xyxydxxxyxxxyc十、[7分]（非化工类做）求幂级数01nnxn的收敛域及其和函数共6页第4页解：由112limlim111nnnnanan，从而1,1,1R为收敛区间又1x时级数发散（调和级数去掉第一项），1x时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为[1,1)设01nnxSxn，则1001,1nnxSxSxn011nnxSxxx，010ln11xxSxxSxdxxx因此1,0ln1,10,01xSxxxxx十一、[6分]（非化工类做）将函数1ln1xfxx展开成x的幂级数解：fx的定义域为1,1，ln1ln1fxxx20011112,0ln1011nnnnnfxxxfxx从而2102,1,121nnfxxxn十二、[6分]（非化工类做）证明：在区间,上等式122201cos124nnxnxn成立证明：对,上的偶函数22124xfx作周期为2的周期延拓，再作出其傅立叶级数由收敛定理即可推出。由公式22230002201241212xxadxx122222000122sin1cos0,cos0124124nnxxnxnxnanxdxdxdnnnn0nb，从而由收敛定理知道122201cos124nnxnxn在,上一定成立共6页第5页十、[7分]（化工类做）在曲面22122zxy上求出切平面，使所得的切平面与平面42210xyz平行。解：曲面的法向量4,,1nxy应与平面平面42210xyz的法向量平行，从而有411,1,4222xyyx，由于切点在曲面上221121122z因此切平面为1421210,2102xyzxyz十一、[6分]（化工类做）设,zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中x可导，求dz解：对方程两边取微分得22xdxydydzdxdydz即12222dzdzdzxdxydydxdyxdxydy221xdxydydz十二、[6分]（化工类做）证明函数222222221sin,0,0,0xyxyxyfxyxy在原点0,0处可微，但,xfxy在点0,0处不连续解：由定义22220010sin0,00,000,0limlim000xxxxfxfxfxx同理0,00yf由于222222222222000011sin0,00,0sinlimlim0xyxxyyxyfxfyxyxyxyxyxy从而函数,fxy在原点0,0处可微。当220xy共6页第6页3222222222111,2sincos22xfxyxxyxyxxyxy22222211,2sincosxxfxyxxyxyxy由于222011,02sincos,lim,0xxxxfxxfxxxx不存在，因此,xfxy在点0,0处由于00lim,xxyfxy不存在而不连续。