高等数学讲义、试题解答(1-3)

11)]([][.____)]([,1,01,1)(.011.)0()0(),()()(),()()(,),()();()(),()(.211.10.9.8.76.5.4.3.2.12121xffxffxxxfbfafbaxfxfxfxfxxxfTxfxfxfxfxf解则设年数一，二）（例典型例题存在，则有界与上连续，且在开区间；二是间上连续函数一定有界有两个：一是利用闭区别的有界性的方法单调增加（减少）；判则时当周期性：奇偶性：单调性，用其定义判别奇偶性，周期性，点是“对应”函数是一个映射，其要内容与方法提要选择题考察。界性。一般以填空题和期性，有即奇偶性，单调性，周查：函数的四个性质，按照大纲要求，主要考考点解析函数表达式及四个性质考点并会用这些性质值定理，介值定理），性质（有界性，最解闭区间上连续函数的初等函数的连续性，理、了解连续函数性质和会判断间断点类型（左连续与右连续），、理解函数连续性概念穷小求极限比较方法，会用等价无的概念，掌握无穷小的、理解无穷小，无穷大限求极限的方法法则，利用两个重要极、掌握极限存在的两个则运算法则、掌握极限的性质及四关系与左、右极限之间念，以及函数极限存在解函数左、右极限的概、理解极限的概念，理初等函数的概念的性质及其图形，了解、掌握基本的初等函数数及隐函数的概念函数的概念，了解反函、理解复合函数及分段性单调性，周期性和奇偶、了解函数的有界性，关系式立简单应用问题的函数握函数的表示法，会建、理解函数的概念，掌考试要求连续性极限函数第一章2).()(lim)(lim][)3,2)(()2,1)(()1,0)(()0,1)((.)2)(1()2sin()(6).(),0,(,0)(0)()()()(][.0)(,0)()(.0)(,0)()(.0)(,0)()(.0)(,0)()()0,()(,0)(,0)(),0()()(5.)()()(5)]()([)]()([)()()(4.)(),()()(),()()()()()(.)()()()(4.)()]([)]([),(),()(3.)()(0,10,1)1(][.0,10,1)(311200020200000CxfxfDCBAxxxxxxfCxxfxfxfxfxfxfxfDxfxfCxfxfBxfxfAxfxfxfxfxfxfxfxfdttftftDdttftftCdttfBdttfAxfxfxFduufxfxFduufudufutdttfxFxFxfdttfxFufxfyfxfyfxuufxfxfxfxexefxexexfxxxxxxxxxxxxxxx选均存在与解在哪个区间上有界例选，故为奇为偶，为奇函数，则解内在则内在设例奇（偶）函数是是偶（奇）函数，为奇（偶）函数，则当：若当利用可导函数的奇偶性）（）（）（）（偶函数的为连续，则下列函数必为设例为偶函数当为奇函数当证明（奇）函数是偶，则是连续的奇（偶）函数的奇偶性，若有关积分上限函数有相同的奇偶性与外层函数的奇偶性相同，则与为偶函数；当合函数的奇偶性不同时，其复与当：设利用复合函数的奇偶性为奇函数利用定义法解：讨论下例函数的奇偶性例3.2)1tan11tan21lim).14(tanlim3.)2sin1lim.)1sin1coslim2.21sin1sintan1lim]sin1sintan1ln[1lim)sin1tan1ln1lim)sin1tan1ln()sin1tan1lim1..00.0106.~1)1)(9()0(~)8(;ln1~)1(log)7(;~)1ln()6(;ln~1)5(;~1)4(;arctan~~arcsin)3(;21~cos1)2(;tan~~sin15)(lim)(lim)(lim4.)()()(,)()(lim)00()()(lim:3).).((~)(),(~)(.)()(lim)()(lim2.)1lim)11(lim,1sinlim1.2122130303031lim100011112000100030000000nxnxxxxxxxxxxnnnnaxxxxxxxxxxxxxxxxnnnexxxexxxxxxxxxxxxxexxxxxxaxaxaxaxaxxxaxaxexxxxxxxxAxfxfAxfxxgxfxgxfxgxfxxxxgxxfxxxgxfex（原式求极限例（原式（求极限例原式（而原式（求极限例典型例题（见例题）型用洛比达法则或”五种形式，可化为，，，”，对“略去高阶无穷小在极限加减运算中可以的加减运算中使用，但穷小代换，不能在极限乘除运算中使用等价无，注意：只能在极限的利用等价无穷小代换时为实数）（）常用的等价无穷小：（内存在在与）或（洛比达法则其中等价无穷小代换：重要极限：内容与方法提要与解答题出现方法。考试中常以填空替换，提取因子等常用等价无穷小代换，变量理化，洛比达法则，利用两个重要极限，有—的几种方法主要考查：求函数极限考点解析求未定型函数极限考点4.1sincos1limsinsin1lim][.sincossin1lim9.412sin2lim][.)1()ln(coslim8.23)2coscos1()sin21(cos1lim.][.cos2cos1lim7,1arctan2lim,1arctan2lim][).arctan2(lim611)sin12(lim,1)sin12(lim][).sin12(lim5)(lim,)(lim][).(lim),0(0,)21ln()1(20,1)1(sin)(40002202022220410410410000xxxxxxxxxxxxxxxexxxxxxxxxxxexxexexxexexxexxeexxeexxeeaxfaxfxfaxxexeeaxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxx原式解求极限例原式解求极限例（有理化）原式解求极限例解求极限例原式解求极限例解求设例5)0)(lim0)(lim.)()(lim.1..3.231)1(lim1)1(lim][].)1([lim143ln2)21ln()311(3lnlim)2(3ln)13(3.lim)1(][).21ln()31ln(lim)2().33(lim)1(13.21)1(21lim)1ln(lim)1(][)].11ln([lim12.231lim][).111lim05(11127sin11coslim][.)(arcsinsin1coslim10000230232323)1(1112111202022200232202320xgxfAxgxftttxxxxxxxxnxntttttxxxxxexxxexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnntxxnnnttxxxxxxx（或且常利用结论：设确定函数中的参数内容方法提要出现法则，多以选择题形式洛比达考查极限的运算法则及定函数中的参数，主要已知某函数极限值，确考点分析求另一函数极限已知极限，确定参数或考点原式解求极限例原式原式解求极限求极限例令原式解求极限例原式解（求极限数三、四）例（原式解求极限例6内容方法提要准则。别数列极限存在的两个数列极限的方法，及判数列极限主要考点：求考点解析数列极限考点则设例答案的值，求设例）（答案）（）（）（）（，则其中设例）（答案）（）（）（）（则已知例典型例题极限之间的关系，找出所求极限与已知方法二：利用恒等变形可将其代入所求极限中即，其中量与无穷小的关系方法一：利用极限的变用两种方法：相关函数极限，主要采已知函数极限，求另一程，从而解出参数。参数满足的多个方达法则的条件），得到比达法则（要验证洛比如果有多个参数，用洛（或则4.36)(6lim,0)(sinlim4.21,1][.,0)1(lim3][.4.4.4.40,2)1()21ln()cos1(tanlim2][.1,1.1,1.1,1.1,1,0)1(lim1...0)()()()(lim.2)0)(lim0)(lim203022202200xxfxxxfbxbababxxaxDcaDcaCdaBdbAbaedxcxbxaCbaDbaCbaBbaAbaxxxxxxAxfAxfxfxgxxxxxxxxxxx7)).((~)()()(,0)()(lim).(~)()()(,1)()(lim.)()(,0)()(lim1.5233lim.11,230][.}{,)3(,300232,221,10,1lim][.lim),0(,)2(12.31tanlim1)1tan(lim][.)1tan(lim981.4lim)3(limlim)2()1(.3.)(2.100022112230xgoxfxgoxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfCxgxfAAAAAxxxxxxxxxxxxxxaaxxxattttxxxnnAzAyxyzxxxxfxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxnnnnnnnnnnnnn是高价无穷小，记是比则若是等价无穷小，记与则若是同阶无穷小与则若内容方法提要中，是必考点之一他综合题为主，有时也渗透到其比较定义，考试以小题主要考查无穷小量阶的考点解析无穷小量阶的比较考点解出，）（由故可令解极限存在，并求此极限证明设年数二）（例解求设例原式解年数四）求（例典型例题常利用数学归纳法有界时，界的数列，证明单调与增（减）且有上（下）单调有界准则：单调递夹逼准则：设放大与缩小限，关键是对数列进行利用夹逼准则求数列极比达法则求之，即变量连续化，用洛换为中将数列接用到求数列极限中洛比达法则外）均可直求函数极限的方法（除8.)(),()(lim1.6.1,2.0201][.0)()2()(0)0(,0)0(0)(024][,,,,,,,,,sin,tan,cos,0043.4sin1)1(0032.2,412)2(3,tanlimlim)1(][.)1(sinsin)1ln(cos1(,0)2(011.~~~);(~3.2).0)(0)(.()()(,0)]([)(lim00030024120tan02tan00220点连续在称若内容方法提要数的连续性，判别函及连续函数的运算法则定义，连续的充要条件主要考查：会用连续性考点解析判别函数的连续性考点知由已知可得解的值，高阶无穷小，试确定时是比在，若续导数，且的某邻域内具有一阶连在年数一）设（例）（答案）（）（）（）（正确的排列次序是按低阶到高阶时无穷小年数二）将（例是等价无穷小，则与时，年数二）若（例得可得解小，求的高阶无穷是比高阶的无穷小，而是比