向量构造法

向量构造法向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础：（1）.||||||||||||bababa（2）||·|||·|baba。一.证明不等式通过构造向量，利用向量的重要不等式：，或||·|||·|baba，以达证明不等式之目的。例1.设a、b、c、d均为正数，求证证明：构造向量，，由得例2.若，求证：证明：构造向量，，则于是由有得将例1推广到更一般的形式，即有例3.若和都是正数，则证明：构造向量，于是，由得从上述证明，发现条件和是正数是多余的。而且利用还可以推出例4.设任意实数x，y满足，，求证：证明：构造向量，由向量数量积性质得所以即例5.设a，b为不等的正数，求证证明：构造向量，，则因为a，b为不相等的正数，所以，即，所以例6.已知x0,y0，且x+y=1，求证：9)11)(11(yx。证明：构造向量)1,1(),1,1(ybxa，则xyba11，而)11)(11(1111||||yxyxba，由||·|||·|baba，得222||·|||·|baba所以9)21()11()11)(11(22yxxyyx例7.求证：))(()(22222dcbabdac证明：设),(),,(dcOBbaOA（1）当OBOA,至少有一个为零时，所证不等式00成立；（2）当OBOA,都不是零向量时，设其夹角是，则有2222||||cosdcbabdacOBOAOBOA，因为1|cos|，即))(()(22222dcbabdac点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系例8.已知：)0,0(1cossin44bababxax。证明：对于任何正整数n都有11212)(1cossinnnnnnbabxax分析：借助向量不等式||·|||·|baba等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量),(),cos,sin(22baqbxaxp，则1cossin22xxqp1cossin||||44babxaxqp，所以||||qpqp，故qp,同向，则qp即bbxaax22cos,sin，所以bxax22cossin代入题设得：babaxx11)cos(sin22，于是111221221212)(1)cos(cos)sin(sincossinnnnnnnnnbabxxaxxbxax所以11212)(1cossinnnnnnbabxax例9.已知23)cos(coscos，求锐角,。分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出,的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。解：由已知得cos23sinsincos)cos1(，构造向量)sin,(cos),sin,cos1(ba，则cos23sinsincos)cos1(ba，cos22||||ba由222||·|||·|baba，得cos22)cos23(2，即0)21(cos2321cos，则31)6sin(三.求值域或最值例10.求函数29103xxy的最大值。分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质||·|||·|baba解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为29103313xxy，设2910331)(xxxf，因为10)910()3(222xx，所以构造向量)910,3(),1,31(2xxba由||·|||·|baba得310)910()3(1)31(|910331|222222xxxx，从而313103y，当且仅当31,339102xxx时，31maxy例11.求函数1122xxxxy的值域。分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。解：设)23,21(),23,21(xbxa，||||bay，ba,不共线1||||||||baba，即11y例12.已知x0,y0，且x+y=1，求1212yx的最大值.22121222812112x1)1212)(11()12112x(1||||)()12,12(,)1,1(2222为最大值故即得：根据证明：构造向量yxyyxybabayxba利用向量数量积的一个重要性质||·|||·|baba，变形为222||·|||·|baba可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.