泰勒公式毕业论文

摘要泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程ABSTRACTTaylorformulaisaveryimportantconceptinadvancedmathematics.Itdividescomplicatedfunctionsintopolynomialfunctions.Ithavebecameapowerfulleveragewhenweanalysisandresearchothermathematicsproblembecauseofitssimplicity.However,normaladvancedmathematictextbooksonlyintroducehowtouseTaylorformulatoexpandthefunctionsandnevergetintotheapplicationsofTaylorformula,Thestudentsarealwayshardtouseitbecauseweteachitdetachedfromuseinteachingprocess.ThispaperdiscussessomeofTaylor'sformulaforthebasiccontent,andfocusedonmathematicalanalysisinsomeapplications.Taylor'sformulaisthemathematicalanalysisoftheimportantknowledge,theuseofcertaintopicsinTaylorformulatoreachthepurposeofsolvingproblemsquickly.Inthispaper,differentaspectsfromtheTaylorformulaforacomprehensivediscussion:theuseofTaylor'sformulaforthelimit,forinfinitedistancelimit,theproofofthevalueoftheformulainthelimitpointtoprovethatinequalityinthevalueofderivatives,itisestimatedthattheestimatesonthesector,equations,usingTaylorformuladeterminantcleversolution.TaylorformulaforhowthewideruseofAdvancedAlgebrawiththeproblem,stillfurtherstudy.KeyWords：Taylorformulalimitfunctioninequalityfunctionequation大连交通大学2012届本科生毕业论文目录一、Taylor公式简介....................................................1（一）Taylor公式的基本形式.............................................1（二）Taylor公式余项类型...............................................2（三）Taylor公式的定理.................................................5二、Taylor公式的证明..................................................6（一）Taylor公式证明初探...............................................6（二）证明Taylor公式...................................................6三、Taylor公式的应用..................................................7（一）利用Taylor公式求极限.............................................8（二）利用Taylor公式判断函数的极值.....................................9（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性................................10（四）利用Taylor公式证明中值定理......................................11（五）利用Taylor公式求行列式的值......................................13（六）Taylor公式在关于界的估计的应用..................................14谢辞................................................错误!未定义书签。参考文献.............................................................171一、Taylor公式简介随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn称为函数f在点0x处的泰勒多项式，若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0()()(()),nnfxTxxx即()200000000()()()()()()()()(()).2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxxxn称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。（一）Taylor公式的基本形式无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。设给定了一个函数fx，我们要找到一个在指定点0xx附近与fx很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式000fxfxfxxx，即0000fxfxfxxxoxx(1.1)公式表明，在点0x附近的函数值fx可以用0xx的一次多项式000fxfxxx近似表示，且当0xx（此时0xx是无穷小），所产生的误差0oxx为较0xx高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算fx，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于0xx的n次多项式22010200nnPxaaxxaxxoxx(1.2)来近似表示fx，并使当0xx时，其误差nfxPx是较0nxx高阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数01,,,naaa，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数fx来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把000fxfxfxxx，与一次多项式1010Pxaaxx，对照一下，可知应该取0010,afxafx，而01,aa的这两个数值可以由等式100100,PxfxPxfx，分别求得。事实上，01001001001001xxPxaaxxPxaaxxa由此不难推想，为了确定n次多项式nPx的全部系数，我们应该假定fx在点0x附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：00000000,,,,nnnnnnPxfxPxfxPxfxPxfx(1.3)由(1.2)计算nPx在0x点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得0010200,,2!,,!nnafxafxafxnafx，即0000102,,,,2!!nnfxfxafxafxaan，代入(1.2)式则得200000002!!nnnfxfxPxfxfxxxxxxxn(1.4)这就是我们找的关于0xx的n次多项式，称为fx在0x点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以fx在0x点的各阶导数表出的。（二）Taylor公式余项类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项0(())noxx，表示余项是比0()nxx（当0xx时）3高阶的无穷小。如)(!2132xoxxex，表示当0x时，xe用!212xx近似，误差（余项）是比3x高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项)1(0)1())(()!1(1nnxxfn（也可以写成)(00xxx）。泰勒多项式表示fx时所产生的误差nnrxfxPx，当0xx时，它是比0nxx高阶的无穷小。其中nrx称为n阶余项。根据上面的假定，nrx在0x点附近具有n+1阶导数（因已假定fx在0x点附近具有n+1阶导数，而多项式nPx具有任何阶导数），并注意到等式(1.3)，则有0000000000000,0,0,0,nnnnnnnnnnnrxfxPxrxfxPxrxfxPxrxfxPx因此，当0xx时，00nnrxxx是00型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得00100limlimnnnnxxxxrxrxxxnxx020lim1nnxxrxnnxx0lim!nnxxrxn0!nnrxn00!n即00lim0nnxxrxxx。这就证明了，当0xx时，余项nrx是比0nxx高阶的无穷小。因此所找到的4多项式nPx满足了我们最初提出的