高考数学排列组合难点之圆排列

高考数学排列组合难点之——圆排列一、问题提出【例1】5个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？A.120B.60C.30D.24分析：（1）实验感知（2）与线排列对比为了更方便地说明这个问题，我们先将5个小朋友编为1~5号。然后让他们按顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列。之后分别以1、2、3、4、5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234。这就是说，这个圆排列对应了5个排列。因此，要求圆排列数，只需要求出排列数再除以5就可以了，即这些小朋友一共有55A/5=44A=24种不同的站法，选择D。（3）总结将人数扩展到n，我们就有：n个人站成一圈，一共有nAnn=11nnA种不同地站法。下面我们来看国考真题：【例2】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少?（）A.在1‰到5‰之间B.在5‰到1％之间C.超过1％D.不超过1‰【解析】很明显这就是一个圆排列问题。如果10个人围一圈随便坐，那正好是10个人的圆排列问题，一共有99A种坐法。现在要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有44A种坐法，再考虑到组内两人还有个顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有5442A种坐法。所以所求概率为995442AA=9452≈2‰，选择A。以上是圆排列问题在一般情况下的解法，但应该注意到还有一个特殊情况，即：如果站圈的物体不是人，而是某种可翻转的物体（如珍珠，无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要再多一倍。因此，这时求圆排列，需要用正常情况下的圆排列数再除以2，即一共有211nnA种不同地串法。比如我们来看下面一个例子：【例3】用六枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？A.120B.60C.30D.24首先注意，本题不是一般的圆排列问题，不能按55A=120来计算。因为本题当中的珍珠是可以翻转的！所以此时圆排列数应为255A=60种（一串珍珠项链翻转之后，原来的123456就变成了654321，即对应的排列数会比原来多一倍，因此求出55A之后还要再除以2），选择B项。