3.2-导数的应用

§3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．知识拓展1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)题组二教材改编2．[P32A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f′(x)0恒成立，∴f(x)是增函数．3．[P28例4]设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案D解析f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2(x0)，当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0，∴x＝2为f(x)的极小值点．4．[P24例2]函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为__________．答案(0,4)解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，得0x4，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4)．5．[P30例5]函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是__________．答案π6＋3解析∵y′＝1－2sinx，∴当x∈0，π6时，y′0；当x∈π6，π2时，y′0.∴当x＝π6时，ymax＝π6＋3.题组三易错自纠6．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案C解析导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．7．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R)，则不等式f(x)2x＋1的解集为____________．答案(1，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)0＝g(1)，得x1.∴不等式的解集为(1，＋∞)．8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵当x0时，－ex－1，∴a＝－ex－1.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12答案B解析由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.故选B.2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在0，1e上单调递增D．在0，1e上单调递减答案D解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得x1e，即函数的单调递增区间为1e，＋∞；当f′(x)0时，解得0x1e，即函数的单调递减区间为0，1e，故选D.3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________．答案－π，－π2和0，π2解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性典例已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间．解f′(x)＝exex＋1－a＝1－1ex＋1－a.①当a≥1时，f′(x)0恒成立，∴当a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．②当0a1时，由f′(x)0，得(1－a)(ex＋1)1，即ex－1＋11－a，解得xlna1－a，由f′(x)0，得(1－a)(ex＋1)1，即ex－1＋11－a，解得xlna1－a.∴当a∈(0,1)时，函数y＝f(x)在lna1－a，＋∞上单调递增，在－∞，lna1－a上单调递减．综上，当a∈[1，＋∞)时，f(x)在R上单调递减；当a∈(0,1)时，f(x)在lna1－a，＋∞上单调递增，在－∞，lna1－a上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a0)．试讨论f(x)的单调性．解由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a0)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2－2aa.①当0a1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和2－2aa，＋∞，单调递减区间为0，2－2aa；②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a1时，f(x)的单调递增区间为－∞，2－2aa和(0，＋∞)，单调递减区间为2－2aa，0.题型三函数单调性的应用问题命题点1比较大小或解不等式典例(1)(2017·南昌模拟)已知定义在0，π2上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈0，π2，都有f′(x)sinxf(x)cosx，则()A.3fπ42fπ3B．fπ3f(1)C.2fπ6fπ4D.3fπ6fπ3答案A解析令g(x)＝fxsinx，则g′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x，由已知g′(x)0在0，π2上恒成立，∴g(x)在0，π2上单调递减，∴gπ4gπ3，即fπ422fπ332，∴3fπ42fπ3.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x0时，有xf′x－fxx20恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是__________________．答案(－∞，－2)∪(0,2)解析∵当x0时，fxx′0，∴φ(x)＝fxx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0x2时，φ(x)0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2根据函数单调性求参数典例(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－20有解，即a1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要aG(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a－1.又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．由(1)知G(x)＝1x2－2x，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，又因为a≠0，所以a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞)．引申探究1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．解因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，所以当x∈[1,4]时，a≤1x2－2x恒成立，又当x∈[1,4]时，1x2－2xmi