2015高三文科数学二轮复习 专题2三角函数、解三角形、平面向量

第5讲三角函数的图像与性质第6讲三角恒等变换与解三角形第7讲平面向量专题二三角函数、解三角形、平面向量第5讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦考点考向探究第5讲三角函数的图像与性质体验高考返回目录1．[2013·广东卷改编]已知sin5π2＋α＝15，那么cosα①＝________．[答案]15[解析]sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.⇒任意角的三角函数关键词：定义、单位圆、诱导公式如①、象限角．主干知识核心知识聚焦第5讲三角函数的图像与性质体验高考返回目录2．[2013·全国卷改编]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα②＝________．[答案]－1213⇒同角三角函数关系关键词：平方关系如②、商数关系．主干知识[解析]cosα＝－1－sin2α＝－1213.核心知识聚焦第5讲三角函数的图像与性质体验高考返回目录3．[2014·浙江卷改编]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝2cos3x的图像向平行移动③________个单位长度．[答案]右π12[解析]y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4＝2cos3x－π12，故将函数y＝2cos3x的图像向右平移π12个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像．⇒三角函数的图像关键词：图像特征如④、图像变换如③.主干知识核心知识聚焦体验高考返回目录[解析]将x＝π3分别代入两个函数，得到sin2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或23π＋φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－π2＋2kπ(k∈Z)或φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.4．[2014·江苏卷]已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φπ)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点④，则φ的值是________．[答案]π6第5讲三角函数的图像与性质核心知识聚焦体验高考返回目录5．[2014·陕西卷改编]函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期⑤是________．[答案]π[解析]T＝2π2＝π.⇒三角函数的性质关键词：单调性如⑥、对称性、周期性如⑤、最值、奇偶性．主干知识第5讲三角函数的图像与性质核心知识聚焦体验高考返回目录6．[2014·四川卷改编]函数f(x)＝sin3x＋π4的单调递增区间⑥为________．[答案]－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z[解析]由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.第5讲三角函数的图像与性质核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——知识必备三角函数定义任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα基本问题诱导公式360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α，“奇变偶不变，符号看象限”值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴三角函数三角函数的性质与图像y＝sinx(x∈R)[－1，1]2kπ，k∈Z增区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z；减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z奇函数(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Z第5讲三角函数的图像与性质返回目录——教师知识必备——y＝cosx(x∈R)[－1，1]2kπk∈Z增区间－π＋2kπ，2kπ，k∈Z；减区间2kπ，2kπ＋π，k∈Z偶函数kπ＋π2，0k∈Zx＝kπk∈Z三角函数的性质与图像y＝tanxx≠kπ＋π2，k∈ZRkπk∈Z增区间－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z奇函数kπ2，0k∈Z无上下平移y＝f(x)的图像平移|k|得y＝f(x)＋k的图像，k＞0向上平移，k＜0向下平移平移变换左右平移y＝f(x)的图像平移|φ|得y＝f(x＋φ)的图像，φ＞0向左平移，φ＜0向右平移x轴方向y＝f(x)的图像上各点横坐标变为原来的ω倍得y＝f1ωx的图像伸缩变换y轴方向y＝f(x)的图像上各点纵坐标变为原来的A倍得y＝Af(x)的图像中心对称y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像的解析式是y＝2b－f(2a－x)三角函数图像变换对称变换轴对称y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称的图像的解析式是y＝f(2a－x)第5讲三角函数的图像与性质返回目录►考点一三角函数的化简与求值三角函数的概念——1.三角函数的概念；2.概念的应用同角三角函数基——1.由一函数值求其他函数值；2.确定本关系式角的范围诱导公式——1.化简；2.符号判断；3.求三角函数值；4，求角题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：求值第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录例1(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－255，则y＝________．(2)若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin(θ－5π)sin3π2－θ＝________．[答案](1)－8(2)310第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)由题意可知，点P到原点的距离r＝16＋y2.因为sinθ＝－255，所以y16＋y2＝－255，解得y＝－8.(2)由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2得tanθ＝3，所以sin(θ－5π)sin3π2－θ＝sin(π－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝310.第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[小结]三角函数的定义是求三角函数值的基础，同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数的化简与计算的过程中起着重要的作用，解题时不仅要合理选取公式，还要注意角的范围．第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录变式题(1)已知2sinx－cosx＝102，x∈0，π2，则tanx＝________．(2)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝12，则sin2x＝________．[答案](1)3(2)－34第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)由2sinx－cosx＝102得cosx＝2sinx－102，将其代入sin2x＋cos2x＝1得5sin2x－210sinx＋64＝0，结合x∈0，π2，解得sinx＝31010，cosx＝1010，所以tanx＝3.(2)sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sinx－cosx＝12，∴cosx＋sinx＝－12，平方得1＋sin2x＝14，∴sin2x＝－34.第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录►考点二三角函数的图像图像——1.图像的判断；2.图像的变换解析式——1.根据图像求解析式中的参数；2.根据图像变换求解析式题型：选择，填空分值：5分难度：中等热点：图像与解析式第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录例2(1)将函数f(x)＝sin2x＋π6的图像向右平移π6个单位长度，所得图像的一条对称轴是()A．x＝π6B．x＝π4C．x＝π3D．x＝π2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图5­1所示，则函数y＝f(x)的解析式为()第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录图5­1A．f(x)＝sinx＋π6B．f(x)＝sinx＋π3C．f(x)＝sin2x－π3D．f(x)＝sin2x＋π6[答案](1)C(2)D第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6的图像，当x＝π3时，f(x)取最大值1，故一条对称轴是x＝π3.(2)由图像知，A＝1，34T＝1112π－π6＝34π，即T＝π，所以ω＝2πT＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又f(x)的图像过点π6，1，∴1＝sinπ3＋φ，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，故f(x)的解析式为f(x)＝sin2x＋π6.第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[小结]根据三角函数图像求函数的解析式，主要考虑两点：一是根据函数图像得出函数的最小正周期，求出ω的值；二是根据函数图像上特殊点的坐标，得出三角函数的关系式，求出φ值．第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录变式题(1)若f(x)＝tan(2x＋φ)的图像过点π6，1，则f2π3＝()A．－1B．0C．2D．1(2)已知直线x＝5π12和点π6，0恰好是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像上相邻的对称轴和对称中心，则函数f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2sin2x－π6B．f(x)＝2sin2x－π3C．f(x)＝2sin4x＋π3D．f(x)＝2sin4x＋π6第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录[解析](1)由已知得，tanπ3＋φ＝1，所以f2π3＝tan2×23π＋φ＝tanπ＋π3＋φ＝tanπ3＋φ＝1.(2)由题意可知14T＝512π－π6＝π4，所以T＝π，所以ω＝2πT＝2，又该函数图像过点π6，0，于是有2sin2×π6＋φ＝0，解得φ＝－π3＋kπ(k∈Z)，故选B.[答案](1)D(2)B第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录►考点三三角函数的性质性质——1.单调性；2.对称性；2.奇偶性；3.周期性；4.最值题型：选择，填空，解答分值：5－10分难度：中等热点：单调性、周期性与最值例3(1)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈(0，2π]，其中f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录(2)[2014·新课标全国卷Ⅰ]在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③[答案](1)C(2)A[解析](1)由f(x)≤fπ6得fπ6＝±1，即sinφ＋π3＝±1①.又由fπ2f(π)，得sin(π＋φ)sin(2π＋φ)，即2sinφ0②，因为φ∈(0，2π]，由①②可得φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6.第5讲三角函数的图像与性质考点考向探究返回目录由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，故f(x)的增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)函数y＝cos|2x|＝cos2x，其最小正周期为π，①正确；函数y＝cosx位于x轴上方的图像不变，将位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到