2015高三文科数学二轮复习 专题7 自由选考模块

第18讲导数及其应用第19讲复数、计数原理、二项式定理与概率专题七自由选考模块返回目录考点考向探究核心知识聚焦第18讲导数及其应用体验高考返回目录主干知识核心知识聚焦第18讲导数及其应用1．[2013·江西卷]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′（1）＝①________.[答案]2[解析]f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝lnx＋x，f′(x)＝1x＋1，所以f′(1)＝2.⇒导数的计算关键词：基本初等函数的导数公式、导数运算法则、复合函数求导，如①.体验高考返回目录主干知识核心知识聚焦第18讲导数及其应用2．[2013·浙江卷改编]已知a∈R，则曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3在点（1，f（1））处的切线方程②是________________．[答案]y＝(3a－3)x－3a＋4⇒导数的几何意义关键词：导数的几何意义、切线方程，如②.[解析]由题意f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.体验高考返回目录主干知识核心知识聚焦3．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编]函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的单调递增③区间是________．[答案](0，＋∞)⇒导数研究函数的性质关键词：导数与函数的单调性、导数与函数的极值和最值，如③④⑤.第18讲导数及其应用[解析]f′(x)＝ex－1x＋1，易知函数f′(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增且f′(0)＝0，所以当x＞0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．体验高考返回目录4．[2013·浙江卷改编]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则当k＝________时，f(x)在x＝1处取到极________值④.[答案]2小[解析]当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝xex－1，则在x＝1处取不到极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝ex(x－1)2＋(ex－1)×2(x－1)＝(x－1)(xex＋ex－2)，f′(1)＝0，f′(2)0，f′120，所以在x＝1处取得极小值．核心知识聚焦第18讲导数及其应用体验高考返回目录5．[2013·北京卷改编]函数f(x)＝x－1－lnxx的最小值⑤为________．[答案]0[解析]f′(x)＝x2－1＋lnxx2，x＞0.当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，所以f′(x)＜0，故f(x)单调递减；当x＞1时，x2－1＞0，lnx＞0，所以f′(x)＞0，故f(x)单调递增．故x＝1是函数f(x)在定义域上唯一的极小值点，也是最小值点，所以f(x)min＝f(1)＝0.核心知识聚焦第18讲导数及其应用返回目录——教师知识必备——知识必备导数及其应用概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx概念与几何意义几何意义f′(x0)为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)基本公式c′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N*)；1x′＝－1x2；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna(a＞0，且a≠1)导数及其应用运算运算法则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[cf(x)]′＝cf′(x)；f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－g′（x）f（x）[g（x）]2(g(x)≠0)；1g（x）′＝－g′（x）[g（x）]2第18讲导数及其应用返回目录——教师知识必备——运算复合函数求导y＝[f(g(x))]′＝f′[g(x)]g′(x)，特别地，[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)单调性使f′(x)＞0的区间为单调递增区间；使f′(x)＜0的区间为单调递减区间极值f′(x0)＝0，且f′(x)在x0附近左负(正)右正(负)，则x0为极小(大)值点导数及其应用研究函数性质最值区间[a，b]上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值为区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值为区间端点值和区间内的极小值中的最小者第18讲导数及其应用返回目录第18讲导数及其应用►考点一导数的几何意义导数的概念和运算——概念的理解和应用、导数的计算导数的几何意义——1.求切线方程；2.求参数值题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：利用导数的几何意义求切线方程考点考向探究返回目录例1(1)已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________．(2)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2－x(a≠0)．若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像在公共点P处有相同的切线，求实数a的值及点P的坐标．[答案](1)53考点考向探究第18讲导数及其应用[解析]由题意知f′(1)＝23，f(1)＝1，则f(1)＋f′(1)＝53.返回目录(2)解：设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像的公共点P的坐标为(x0，y0)，则有lnx0＝ax20－x0①.又两图像在点P处有共同的切线，∴f′(x0)＝g′(x0)，即1x0＝2ax0－1，则a＝1＋x02x20，代入①得lnx0＝12－12x0.设h(x)＝lnx－12＋12x，则h′(x)＝1x＋120(x0)，∴函数h(x)最多有1个零点，易得x0＝1，∴a＝1，此时P点坐标为(1，0)．考点考向探究第18讲导数及其应用返回目录[小结]对于曲线的切线问题，其解题关键是切点坐标，特别是求曲线在某点(该点可能在曲线上，也可能不在曲线上)的切线方程时，只要设出曲线上的切点坐标(x0，f(x0))，即可使用x0表示出切线方程，再根据该直线经过的点，得出关于x0的方程，根据这个方程即可得出所有的切线方程．考点考向探究变式题(1)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝0(2)函数f(x)＝exsinx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B．π4C．1D．32第18讲导数及其应用返回目录[解析](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，由于f′(x)是偶函数，所以a＝0，此时f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.(2)由f′(x)＝ex·sinx＋ex·cosx，得f′(0)＝1，则切线的倾斜角为π4.[答案](1)A(2)B考点考向探究第18讲导数及其应用返回目录第18讲导数及其应用►考点二单调性与极值(最值)导数与函数的单调性——1.求函数的单调区间；2.根据单调性确定参数值或参数取值范围；3.利用单调性证明不等式导数与函数的极值——1.求函数的极值；2.利用极值求最值．导数与函数的最值——1.求函数的最值；2.利用最值解决不等式问题题型：解答分值：12分难度：较难热点：函数单调性的讨论、极值和最值、不等式的证明以及恒成立问题考点考向探究返回目录例2(1)已知f(x)是可导函数，且f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(1)ef(0)，f(2014)e2014f(0)B．f(1)ef(0)，f(2014)e2014f(0)C．f(1)ef(0)，f(2014)e2014f(0)D．f(1)ef(0)，f(2014)e2014f(0)(2)已知函数f(x)＝ax－lnx－3.①当a＝1时，求函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程；②若函数f(x)在区间[e－4，e]上的图像与直线y＝t(0≤t≤1)恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围．考点考向探究第18讲导数及其应用►考向一导数与函数的单调性返回目录[解析]令g(x)＝f（x）ex，则g′(x)＝f′（x）ex－f（x）ex（ex）2＝f′（x）－f（x）ex0，所以函数g(x)＝f（x）ex是减函数，所以g(1)g(0)，g(2014)g(0)，即f（1）ef（0）1，f（2014）e2014f（0）1，故f(1)ef(0)，f(2014)e2014f(0)．(2)解：①由题意知f(x)＝x－lnx－3，则切线的斜率k＝f′(1)＝0，故切线的方程为y＝－2.考点考向探究第18讲导数及其应用[答案](1)D返回目录②f′(x)＝a－1x，由x∈[e－4，e]，得1x∈1e，e4，由题意可知f(x)在区间[e－4，e]上不具有单调性，故a∈1e，e4.当x∈e－4，1a时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈1a，e时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f（e－4）≥1，f1a0，f（e）≥1，解得5e≤ae2.考点考向探究第18讲导数及其应用返回目录[小结]确定函数的单调区间时要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域包含原来函数的定义域．考点考向探究变式题(1)若f(x)的定义域为R，f′(x)2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线是2x－y＋3＝0.①求b，c的值；②若f(x)在区间0，＋∞上单调递增，求a的取值范围．第18讲导数及其应用[答案](1)B返回目录考点考向探究第18讲导数及其应用[解析]构造函数F(x)＝f(x)－2x，则F′(x)＝f′(x)－20，所以函数F(x)在定义域上单调递增．又F(－1)＝f(－1)＋2＝4，所以f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)．(2)解：①由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线是2x－y＋3＝0，所以f(0)＝c＝3，f′(0)＝b＝2，即b＝2，c＝3.②由①知f(x)＝x3＋ax2＋2x＋3，f′(x)＝3x2＋2ax＋2.因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．当a≥0时，f′(x)0在区间0，＋∞上恒成立，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．返回目录考点考向探究第18讲导数及其应用当a0时，要使f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，那么Δ＝(2a)2－4×3×2＝4(a2－6)≤0，解得－6≤a0.综上可知，a≥－6.例3已知函数f(x)＝(x3－6x2＋3x＋t)ex，t∈R，且函数y＝f(x)依次在x＝a，x＝b，x＝c(abc)处取到极值．(1)求t的取值范围；(2)若a＋c＝2b2，求t的值．►考向二导数与函数的极值返回目录考点考向探究第18讲导数及其应用解：(1)f′(x)＝(3x2－12x＋3)ex＋(x3－6x2＋3x＋t)ex＝(x3－3x2－9x＋t＋3)ex.∵f(x)有3个极值点，∴x3－3x2－9x＋t＋3＝0有3个根a，b，c.令g(x)＝x3－3x2－9x＋t＋3，则g′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，则g(x)在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在区间(－1，