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集合与简易逻辑(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()【解析】由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N⊂M，故选B.【答案】B2．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为()A．0B．1C．2D．无穷【解析】∵集合中表示的元素为点，元素分别在抛物线上y＝x2及直线y＝x上，而直线y＝x与抛物线y＝x2有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2.【答案】C3．已知p：2＋3＝5；q：5＜4，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“¬p”为假B．“p∧q”为假，“¬q”为真C．“p∧q”为假，“¬p”为假D．“p∧q”为真，“p∨q”为真【解析】∵p为真，∴¬p为假，又∵q为假，∴¬q为真，故选D.【答案】D4．已知全集∪＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z||x－3|＜2}，则集合∁UA等于()A．{1,2,3,4}B．{2,3,4}C．{1,5}D．{5}【解析】∵|x－3|＜2，∴－2＜x－3＜2，即1＜x＜5.∵x∈Z，∴A＝{2,3,4}．∴∁UA＝{1,5}，故选C.【答案】C5．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集∪中有18个元素，设∁U(A∪B)中有x个元素，则x的取值范围是()A．3≤x≤8且x∈NB．2≤x≤8且x∈NC．8≤x≤12且x∈ND．10≤x≤15且x∈N【解析】设A∪B中有y个元素，可知10≤y≤16，y∈N，又由x＝18－y可得2≤x≤8，故选B.【答案】B6．若集合M＝{x|x2－2x－3＜0}，P＝{y|y＝x－1}，那么M∩P等于()A．(0,3)B．[0,3)C．[1,3)D．[－1，＋∞)【解析】据题意M＝{x|－1＜x＜3}，P＝{y|y≥0}，故M∩P＝{y|0≤y＜3}，即选B.【答案】B7．给出命题：p：3＞1；q：4∈{2,3}，则在下列三个复合命题：“p且q”；“p或q”；“非p”中，真命题的个数为()A．0B．3C．2D．1【解析】∵p真q假，∴p或q为真．故应选D.【答案】D8．条件甲“a＞1”是条件乙“a＞a”成立的()A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【解析】a＞1时，显然有a＞a，由a＞a得a＞1，故选B.【答案】B9．有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0的实根”的逆否命题；④“若M∩P＝P，则M⊆P”的逆否命题．A．①②B．②③C．①②③D．③④【解析】其中①②③为正确命题，④为假命题．【答案】C10．(2009年安徽卷)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于a＞b，且c＞d⇒a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d⇒a＞b且c＞d，所以“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．【答案】A11．kx2＋2kx－(2＋k)＜0恒成立，则实数k的取值范围是()A．－2≤k≤0B．－1≤k＜0C．－1＜k≤0D．－1＜k＜0【解析】k＝0或k＜0Δ＜0⇒k＝0或k＜04k2＋4k(2＋k)＜0⇒－1＜k≤0.【答案】C12．设全集U＝{1,2,3,4}，集合A、B是U的不同子集，若A∩B＝{1,3}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，则“理想配集”(A，B)的个数为()A．4B．8C．9D．16【解析】由题意，当A＝{1,3}时，则B有{1,3,2}，{1,3,4}，{1,2,3,4}三种情况；当A＝{1,3,2}时，B有{1,3}，{1,3,4}两种情况；当A＝{1,3,4}时，B有{1,3}，{1,3,2}两种情况；当A＝{1,2,3,4}时，B有{1,3}一种情况，共有3＋2＋2＋1＝8(种)，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________【解析】∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．【答案】{2,4,8}14．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．【解析】否命题是对条件和结论都否定，x2＜1的否定为x2≥1.“－1＜x＜1”的否定是x≤－1或x≥1.【答案】“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”15．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x∈A，x2∈B}则集合A*B中最大的元素是________；集合A*B的所有子集的个数为________．【解析】集合A*B中最大的元素是3＋2＝5，集合A*B中有2,3,4,5共4个元素，所以子集的个数为24＝16.【答案】51616．条件p：－1＜m＜5；条件q：方程x2－2mx＋m2－1＝0的两根均大于－2小于4，则p是q的________．【解析】方程x2－2mx＋m2－1＝0的两根为x1＝m＋1，x2＝m－1，由－2＜m＋1＜4－2＜m－1＜4⇒－1＜m＜3.【答案】必要而不充分条件．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题的真假．(1)命题“在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B”的逆命题；(2)命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”的否命题；(3)命题“若a≠0，且b≠0，则ab≠0”的逆否命题．【解析】(1)该命题的逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC，命题为真命题．(2)该命题的否命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，，命题为真命题．(3)该命题的逆否命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，命题为真命题．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}．(1)当m＝3时，求A∩∁RB；(2)若A∩B＝{x|－1≤x4}，求实数m的值．【解析】(1)A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，当m＝3时，B＝{x|－1x3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩∁RB＝{x|x＝－1或3≤x≤5}．(2)∵A∩B＝{x|－1≤x4}，∴x＝4是方程x2－2x－m＝0的一个根，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2x4}符合题意．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.【解析】9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其他公共元素．{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9.(1)∵9∈A∩B，且9∈B∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝－3.检验知：a＝－3.20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax＋2，不等式|f(x)|6的解集为(－1,2)，试求不等式xf(x)≤1的解集．【解析】∵|ax＋2|6，∴(ax＋2)236，即a2x2＋4ax－320，由题设可得－4aa2＝(－1)＋2－32a2＝(－1)×2，解得：a＝－4.∴f(x)＝－4x＋2，由xf(x)≤1即x－4x＋2≤1变形得：5x－24x－2≥0，它等价于(5x－2)(4x－2)≥0，且4x－2≠0，解得：x12或x≤25.∴原不等式的解集为xx12或x≤25.21．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8＞0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解析】将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，从而列出a所满足的不等式而求解．设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a(a＜0)}；B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4，或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p⇒/綈q，则{x|綈qx|綈p}．而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x＜－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a，或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－x|x≤3a，或x≥a(a＜0)}，则3a≥－2，a＜0或a≤－4，a＜0，即－23≤a＜0或a≤－4.22．(本小题满分12分)已知命题p：x∈A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，命题q：x∈B＝{x|x2－4x＋3≥0}．(1)或A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a，(2)若綈q是p的必要条件，求实数a.【解析】由题意得B＝{x|x≥3或x≤1}，(1)由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁RB＝(1,3)，∴a＋1＝3a－1＝1⇒a＝2.(2)∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴綈q：x∈{x|1＜x＜3}．∵綈q是p的必要条件．即p⇒綈q，∴A⊆∁RB＝(1,3)，∴a＋1≤3a－1≥1⇒2≤a≤2⇒a＝2.