2011年高考一轮课时训练(理)7.3基本不等式 (通用版)

第三节基本不等式题号12345答案一、选择题1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)2．(2010年江西五校联考)已知正整数a，b满足4a＋b＝30，使得1a＋1b取最小值时，则实数对(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)3．(2010年启东中学测试)当x＞1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]4．某工厂第一年底的产量为P，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有()A．x≥a＋b2B．x＝a＋b2C．x≤a＋b2D．x＞a＋b25．(2009年江西卷)若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.12二、填空题6．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则1m＋2n的最小值为__________．7．(2010年重庆模拟)已知x1·x2·…·x2010＝1，且x1，x2，…，x2010都是正数，则()1＋x1()1＋x2…()1＋x2009的最小值是__________．8．建造一个容积为18m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价分别为200元和150元，那么池的最低造价为__________元．三、解答题9．(2010年湖北卷)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．10．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果λ∈23，34，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？参考答案1．解析：1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当用仅当a＝b时等号成立，选D.答案：D2．解析：1a＋1b＝1a＋1b·4a＋b30＝1305＋ba＋4ab∵ba＋4ab≥2ba·4ab＝4.当且仅当ba＝4ab即b＝2a时等号成立．由b＝2a4a＋b＝30⇒a＝5b＝10故选A.答案：A3．解析：a≤x＋1x－1恒成立⇔a≤x＋1x－1的最小值．∵x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.∴a≤3.选D.答案：D4．解析：依题意得，该工厂第二年的产量为P(1＋a)，第三年的产量为P(1＋a)(1＋b)．又由于这两年的平均增长率为x，则P(1＋x)2＝P(1＋a)(1＋b)．于是(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤1＋a＋1＋b22，所以1＋x≤2＋a＋b2，即x≤a＋b2.故选C.答案：C5．解析：a1a2＋b1b2＜a1＋a222＋b1＋b222＝12，a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)＞0，a1b1＋a2b2＞(a1b2＋a2b1)，1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)，a1b1＋a2b2＞12.答案：A6．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，1m＋2n＝1m＋2n·(2m＋n)＝4＋nm＋4mn≥4＋2nm·4mn＝8.答案：87．解析：由题意得()1＋x1()1＋x2…()1＋x2009≥2x1·2x2·…·2x2009＝22010·x1x2…x2009＝22010.答案：220108．解析：设池底的长为x(m)，则宽为9x(m)，则水池的造价为9×200＋1504x＋36x(元)．9×200＋1504x＋36x≥1800＋3004x·36x＝1800＋3600＝5400(元)．答案：54009．解析：(1)如图，设矩形的另一边长为am则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360由已知xa＝360，得a＝360x，∴y＝225x＋3602x－360(x＞2)．(2)∵x＞2，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10900.∴y＝225x＋3602x－360≥10440.当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．10．解析：设画面的高为xcm，宽为λxcm，则λx2＝4840，设纸张面积为S，则有S＝(x＋16)(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160＝5000＋44108λ＋5λ≥6760，当且仅当8λ＝5λ时，即λ＝58时，S取最小值，此时，高x＝4840λ＝88cm，宽λx＝58×88＝55cm.如果λ∈23，34，则上述等号不能成立．现证函数S(λ)在23，34上单调递增．设23≤λ1＜λ2≤34，则S(λ1)－S(λ2)＝44108λ1＋5λ1－8λ2－5λ2＝4410(λ1－λ2)8－5λ1λ2，因为λ1λ2≥23＞58⇒8－5λ1λ2＞0，又λ1－λ2＜0，所以S(λ1)－S(λ2)＜0，故S(λ)在23，34上单调递增，因此对λ∈23，34，当λ＝23时，S(λ)取得最小值．