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第三节平面向量的数量积题号12345答案一、选择题1．(2009年全国卷)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A.5B.10C．5D．252．(2010年宁夏海南卷)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－17B.17C．－16D.163．(2010年东城统测)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a＋b|＝37，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．(2010年广东省实验中学月考)设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|5．在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形二、填空题6．(2010年江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.7．(2010年江西卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b则k＝________.8．若向量a、b的夹角为150°，||a＝3，||b＝4，则||2a＋b＝__________.三、解答题9．(2010年福州模拟)已知向量a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，且x∈0，π2，(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．10．(2010年博兴月考)已知a＝()cosα，sinα，b＝()cosβ，sinβ，其中0αβπ.(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与ka－b(k≠0)的长度相等，求β－α.参考答案1．解析：由|a＋b|＝52知(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝50，得|b|＝5，选C.答案：C2．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－17，故选A.答案：A3．C4．解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)＝－a·bx2＋(|a|2－|b|2)x＋a·b，若函数f(x)的图象是一条直线，即其二次项系数为0，∴a·b＝0⇒a⊥b.答案：A5．解析：非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，又cosA＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，∴∠A＝π3，所以△ABC为等边三角形，选D.答案：D6．解析：a×b＝2×3×32＝3.答案：37．解析：因为a－c＝(3－k，－1)，且(a－c)⊥b，∴(3－k)×1＋(－1)×3＝0所以k＝0.答案：08．解析：||2a＋b＝()2a＋b2＝4a2＋b2＋4a·b＝12＋16＋4×3×4×cos150°＝2.答案：29．解析：(1)a·b＝cos32x·cosx2－sin32x·sinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2＋2cos2x＝2cos2x.∵x∈0，π2，∴cosx0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2，∵x∈0，π2，∴0≤cosx≤1.①当λ0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ1相矛盾，综上所述，λ＝12为所求．10．解析：(1)证明：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋b·a－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝cos2α＋sin2α－cos2β＋sin2β＝1－1＝0，所以a＋b与a－b互相垂直．(2)ka＋b＝()kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ，ka－b＝()kcosα－cosβ，ksinα－sinβ，所以|ka＋b|＝k2＋2kcos()β－α＋1，|ka－b|＝k2－2kcos()β－α＋1，因为|ka＋b|＝|ka－b|，所以k2＋2kcos()β－α＋1＝k2－2kcos()β－α＋1，有2kcos()β－α＝－2kcos()β－α，因为k≠0，故cos()β－α＝0，又因为0αβπ，0β－απ，所以β－α＝π2.