2012朝阳区高三一模试卷及答案(数学文)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2012.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数10i12iA.42iB.42iC.24iD.24i2.若集合21,Am，3,4B，则“2m”是“4BA”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.已知平面向量,ab满足()=3aa+b，且2,1==ab，则向量a与b的夹角为A.6B.3C.3D.64.已知数列na的前n项和为nS，且21()nnSanN，则5aA.16B.16C.31D.325.关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面,，下列命题正确的是A．//,//nm且//，则nm//B．nm,且，则m//nC．//,nm且//，则nmD．nm,//且，则nm//6.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率62e，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A．2212xyB．22123xyC.2214xyD.221xy7.某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的%x的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%xx元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是A.2B.6.5C.8.8D.108.函数()fx是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有(2)()fxfx.当01x时，2()fxx.若直线yxa与函数()yfx的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为A.nnZB.2nnZC.2n或124nnZD.n或14nnZ第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.若5sin3,(,)2，则tan.10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.（第10题图）11.执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是.（第11题图）12.设,xy满足约束条件0,,230,yyxxy则目标函数2zxy的最大值是；使z取得最大值时的点(,)xy的坐标是.开始输入kS=0，i=11+(1)SSiii=i+1?ik输出S结束是否21133正视图侧视图俯视图2113.已知函数213(),2,()24log,02xxfxxx，则((2))ff的值为；函数()()gxfxk恰有两个零点，则实数k的取值范围是.14.已知集合22(,)4Axyxy，集合B,,xyymxm为正常数.若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点,则MON的面积S与m的关系式为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15.（本题满分13分）已知函数π()cos()4fxx.（Ⅰ）若3()5f，其中π3π,44求πsin4的值；（II）设()2gxfxfx，求函数()gx在区间ππ,63上的最大值和最小值.16.（本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,ab的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17.（本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，=90ABD，EB平面ABCD，EF//AB，2AB=，=1EF，=13BC，且M是BD的中点.（Ⅰ）求证：//EM平面ADF；（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得CPD最大？若存在，请求出CPD的正切值；若不存在，区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]人数5050a150b2530354045500.02频率组距年龄0.080.060.04OCAFEBMD请说明理由.18.（本题满分14分）已知函数2()1exfxax,aR.（Ⅰ）若函数()fx在1x时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间.19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点分别为1(2,0)F，2(2,0)F，点(1,0)M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M的直线l与椭圆C相交于A，B两点,设点(3,2)N，记直线AN，BN的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,nAaaa（nN），满足00a，1naan．若存在最小的正整数k，使得(1)kakk，则可定义变换T，变换T将数列0A变为00111():1,1,,1,0,,,kknTAaaaaa．设1()iiATA，0,1,2i．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A，试写出数列5A；若数列4:4,0,0,0,0A，试写出数列0A；（Ⅱ）证明存在数列0A，经过有限次T变换，可将数列0A变为数列,0,0,,0nn个；（Ⅲ）若数列0A经过有限次T变换，可变为数列,0,0,,0nn个．设1mmmnSaaa，1,2,,mn，求证[](1)1mmmSaSmm，其中[]1mSm表示不超过1mSm的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2012.3一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BACBCADC二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案5232343;3,020；3,14241mm注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f，且ππ042，…………1分所以π4sin45..…………5分.（II）π()2gxfxfx=ππcos()cos()44xx=ππsin()cos()44xx=1πsin(2)22x=1cos22x..…….…..10分当ππ,63x时，π2π2,33x.则当0x时，()gx的最大值为12；当π3x时，()gx的最小值为14.………13分（16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a，0.02550050b.……………2分(Ⅱ)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300，第2组的人数为5061300，第3组的人数为20064300，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．………………6分(Ⅲ)设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为1234,,,CCCC，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),ABACACACAC1234(,),(,),(,),(,),BCBCBCBC12(,),CC13(,),CC142324(,),(,),(,),CCCCCC34(,),CC共15种可能．…………10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),AB共1种可能，………………12分所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515．………………13分（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AD的中点N，连接,MNNF.在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MN//AB,MN12=AB.……………2分又因为EF//AB,EF12=AB，所以MN//EF且MN=EF.所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.………………4分又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM//平面ADF.……………………6分（Ⅱ）解：假设在EB上存在一点P，使得CPD最大.因为EB平面ABD，所以EBCD.又因为CDBD，所以CD平面EBD.………………………8分在RtCPD中，tan=CDCPDDP.因为CD为定值，且CPD为锐角，则要使CPD最大，只要DP最小即可.显然，当DPEB时，DP最小.因为DBEB，所以当点P在点B处时，使得CPD最大.…………11分易得tanCDCPD=DB=23.所以CPD的正切值为23.……………………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2()21exfxaxax.xR……………………2分依题意得(1)(31)e=0fa，解得13a.经检验符合题意.………4分（Ⅱ）2()21exfxaxax，设2()21gxaxax，（1）当0a时，()exfx，()fx在,上为单调减函数.……5分NCAFEBMD（2）当0a时，方程2()21gxaxax=0的判别式为244aa，令0,解得0a（舍去）或1a.1°当1a时，22()21(1)0gxxxx，即2()21e0xfxaxax，且()fx在1x两侧同号，仅在1x时等于0，则()fx在,上为单调减函数.……………………7分2°当10a时，0，则2()210gxaxax恒成立，即()0fx恒成立，则()fx在,上为单调减函数.……………9分3°1a时，2440aa，令()0gx，方程2210axax有两个不相等的实数根211aaxa，221aaxa，作差可知2211aaaaaa，则当21aaxa时，()0gx，()0fx，()fx在2(,1)aaa上为单调减函数；当2211aaaaxaa时，()0gx，()0fx，()fx在22(1,1)aaaaaa上为单调增函数；当21aaxa时，()0gx，()0fx，()fx在2(1,)aaa上为单调减函数.……………………………………………………………………13分综上所述，当10a时，函数()fx的单调减区间为,；当1a时，函数()fx的单调减区间为2(,1)aaa，2(1,)aaa，函数()fx的单调增区间为22(1,1)aaaaaa.…………………………14分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，由已知得2c，222ab，由已知易得1bOM,解得3a.………………………3分则椭圆的方程为2213xy.………………………4分(II)①当直线l的斜率不存在时，由221,13xxy解得61,3xy