2015龙岩市质检数学(文)试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．参考公式：样本数据nxxx,,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221xxxxxxnsnShV31其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式VSh3234,4RVRS其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．如图，设全集UR，|2Mxx，0,1,2,3N，则图中阴影部分所表示的集合是A．3B．0,1C．0,1,2D．0,1,2,32．若命题p：00,sin1xRx；命题q：2,10xRx，则下列结论正确的是A．p为假命题B．q为假命题C．pq为假命题D．pq为真命题3．已知函数2log1(0)()(2)(0)xxfxfxx，则(0)fA．1B．0C．1D．34．某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为A．20B．25C．22.5D．22.75（第1题图）NMU（第4题图）0.080.040.030.02353025201510长度(mm)频率组距5．函数cosxye()x的大致图象为6．已知,AB是以O为圆心的单位圆上的动点，且2AB，则OBABA．1B．1C．22D．227．如图所示的程序框图输出的结果是14S，则判断框内应填的条件是A．7?iB．15?iC．15?iD．31?i8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是A．33B．32C．37D．3719．已知,xy满足2yxxyxa，且目标函数2zxy的最小值为1，则实数a的值是A．1B．13C．14D．1810．已知双曲线22221xyab（0,0ab）的渐近线与圆22(2)1xy相切，则双曲线的离心率为A．43B．32C．255D．23311．已知函数()sin()4fxAx(0,0)A的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，为了得到()singxAx的图象，只需将()fx的图象A．向左平移12个长度单位B．向右平移12个长度单位C．向左平移4个长度单位D．向右平移4个长度单位12．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，点E，F分别是线段AB，11CD上的动点，点P是上底面1111ABCD内是否结束（第7题图）2S0i21ii3SS开始S输出（第8题图）正视图侧视图俯视图1113xyOxyOxyOxyOABCDEGFOyx（第11题图）（第12题图）ABCDEPF1C1B1A1D一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面11ABBA的距离，则当点P运动时，PE的最小值是A．5B．4C．42D．25第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）13．已知i是虚数单位，复数21ii的模为________.14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率是_________.15．在ABC中，已知sin2sinCA，2ba，那么cosB的值是___________.16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数.我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和.例如：1111236，1111124612，1111112561220，……依此方法可得：1111111111111126123042567290110132156mn，其中*,mnN，则mn.三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知等差数列na的前n项和为nS，公差0d，24S，且2a，5a，14a成等比数列．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）从数列na中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按原来顺序组成一个新数列nb，记该数列的前n项和为nT，求nT的表达式．18．（本小题满分12分）如图，平面11ABBA为圆柱1OO的轴截面，点C为底面圆周上异于,AB的任意一点．（Ⅰ）求证：BC平面1AAC；（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：1//AD平面1OBC．19．（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩8287868090乙的成绩7590917495（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．20．（本小题满分12分）若函数23()sincos3sin(0)2fxxxx的图象与直线mmy(为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为的等差数列．（Ⅰ）求及m的值；（第14题图）ABCDE（第18题图）A1A1O1BBCOD（Ⅱ）求函数()yfx在0,2x上所有零点的和．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C：2221(1)yxaa与抛物线2C：24xy有相同焦点1F．（Ⅰ）求椭圆1C的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l过椭圆1C的另一焦点2F，且与抛物线2C相切于第一象限的点A，设平行1l的直线l交椭圆1C于,BC两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5CABCC6-10BCDBD11-12AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．214．1215．1416．3318．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．证明：（Ⅰ）AB为O的直径，点C为O上的任意一点BCAC……………………………………………………………2分又圆柱1OO中，1AA底面O1AABC,即1BCAA………………………………………………4分而1AAACABC平面1AAC………………………………………………6分（Ⅱ）（法一）取BC中点E，连结DE、1OE,D为AC的中点ABC中，//DEAB,且12DEAB……………………………8分又圆柱1OO中，11//AOAB,且1112AOAB11//DEAO,11DEAO11ADEO为平行四边形………………………………………………10分11//ADEO……………………………………………………11分而1AD平面1OBC，1EO平面1OBC1//AD平面1OBC……………………………………………12分（法一图）（法二图）（Ⅱ）证明：（法二）连结DO、1AO,D为AC的中点，O为AB的中点ABC中，//DOBC而DO平面1OBC，BC平面1OBCxkb1//DO平面1OBC………………………………………………………8分又圆柱1OO中，11//AOOB,且11AOOB11AOBO为平行四边形11//AOBO而1AO平面1OBC，1BO平面1OBC1//AO平面1OBC……………………………………………………10分1DOAOO平面1//ADO平面1OBC1AD平面1ADO1//AD平面1OBC…………………………………………………12分19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.新*课*标*第*一*网解：（Ⅰ）解法一：依题意有8287868090855x甲7590917495855x乙……………………………………………2分22222216482-8587-8586-8580-8590-8555s甲（）（）（）（）（）……3分222222138275-8590-8591-8574-8595-8555s乙（）（）（）（）（）…4分答案一：2285xxss乙乙甲甲，从稳定性角度选甲合适.…………6分（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适.…………6分）答案二：2285xxss乙乙甲甲，乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6分解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为15；………………………………………………………………………………2分乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为A1A1O1BBCODEA1A1O1BBCOD35．………………………………………………………………………………5分所以选乙合适．…………………………………………………6分（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为,,ABC.“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为,ab.从这5次摸底考试中任意选取2次有,,,,,,,,,abaAaBaCbAbBbCABACBC共10种情况．……………………………9分恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共,,,,,aAaBaCbAbBbC共6种情况．……………………………10分5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率63()105PA．……………12分20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想．解：（Ⅰ）23()sincos3sin2fxxxx=133sin2(1cos2)222xx=13sin2cos222xx=sin(2)3x……………………………………3分依题意得函数()fx的周期为且0，222xkb11，1m……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin(2)03x2()3xkkZ26kx…………8分又0,2xx275,,,6363………………………10分(),0,2yfxx所有零点的和为2751163633…………12分21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．解：（Ⅰ）抛物线yx42的焦点为)1,0(1F，1c，又21,2ba椭圆方程为1222xy．………………………………………………………4分（Ⅱ）（法一）设),(00yxA，00x，00y,412xy1',2yx,2101xkl直线1l的方程为)(21410020xxxxy即，2004121xxxy且过点2(0,1)F2001124xx，，,12101xkl切线1l方程为1xy…………………………6分因为1//ll，所以设直线l的方程为mxy，由1222xymxy，消y整理得,022322mmxx…………………………7分2241