2017年高考数学考前回扣教材2 函数与导数

回扣2函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域；③在实际问题中应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：a0时，值域为4ac－b24a，＋∞，a0时，值域为－∞，4ac－b24a；③反比例函数y＝kx(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．5．函数图象的基本变换(1)平移变换：y＝f(x)――→h0，右移h0，左移y＝f(x－h)，y＝f(x)――→k0，上移k0，下移y＝f(x)＋k.(2)伸缩变换：y＝f(x)――→0ω1，伸ω1，缩y＝f(ωx)，y＝f(x)――→0A1，缩A1，伸y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)――→x轴y＝－f(x)，y＝f(x)――→y轴y＝f(－x)，y＝f(x)――→原点y＝－f(－x)．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a0，且a≠1)恒过(0,1)点；y＝logax(a0，且a≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；当0a1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．7．函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax0；对数函数y＝logax(a0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f(x)＝2x＋2，x≤0，2x－4，x0，则f[f(1)]等于()A．－10B．10C．－2D．2答案C解析由f[f(1)]＝f(21－4)＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C.2．若函数f(x)＝x2－12lnx＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[1，32)C．[1,2)D．[32，2)答案B解析因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝2x－12x，由f′(x)＝0，得x＝12.利用图象可得，k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32，故选B.3．若函数f(x)＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x7单调递增，则实数a的取值范围是()A．(94，3)B．[94，3)C．(1,3)D．(2,3)答案D解析因为函数f(x)＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x7单调递增，所以1a3且由f(7)f(8)得，7(3－a)－3a2，解得a－9或a2，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选D.4．函数y＝x·2x|x|的图象大致形状是()答案A解析y＝2x，x0，－2x，x0，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，且y＝2x＞0，排除B，D；又y＝－2x在(－∞，0)上单调递减，排除C.5．(2016·课标全国甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1x答案D解析函数y＝10lgx的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝1x，故选D.6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(－1)＝2，则f(2017)的值是()A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数是以T＝4的周期函数，所以f(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－2，故选D.7．已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0答案A解析由题意知f(x)为(0，＋∞)上的减函数，又f(x0)＝0，x1＜x0，∴f(x1)＞f(x0)＝0，故选A.8．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab答案D解析易知log231，log32，log52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝log5x的图象，观察可知log32log52.所以cab.比较a，b的其他解法：log32log33＝12，log52log55＝12，得ab；0log23log25，所以1log231log25，结合换底公式得log32log52，即a＞b.9．若函数f(x)定义域为[－2,2]，则函数y＝f(2x)·ln(x＋1)的定义域为________．答案(－1,1]解析由题意可得－2≤2x≤2，x＋10，∴－1x≤1，即函数y＝f(2x)·ln(x＋1)的定义域为(－1,1]．10．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．答案3解析因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.11．设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈[0，12]时f(x)＝－x2，则f(3)＋f(－32)的值等于________．答案－14解析由于y＝f(x)为奇函数，根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，所以函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f(－32)＝f(12)＝－14，∴f(3)＋f(－32)＝－14.12．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b的值为________．答案－7解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知可得f′1＝3＋2a＋b＝0，f1＝1＋a＋b＋a2＝10，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，经验证，a＝4，b＝－11符合题意，故a＋b＝－7.13．已知函数f(x)＝x＋1ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋1ex，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)φ(x2)成立，求实数t的取值范围．解(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－xex，∴当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)φ(x2)成立，则2