丰台区高三一模数学理有答案

北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）数学试题（理）一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．如果aiaiz11为纯虚数，则实数a等于（）A．0B．-1C．1D．-1或12．设集合}1,0,log|{},,0,)21(|{2xxyyNxyyMx，则集合NM是（）A．,1)0,(B．,0C．1,D．)1,0()0,(3．若,)21(2210nnnxaxaxaax则2a的值是（）A．84B．-84C．280D．-2804．奇函数)0,()(在xf上单调递增，若,0)1(f则不等式0)(xf的解集是（）A．)1,0()1,(B．),1()1,(C．)1,0()0,1(D．),1()0,1(5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．36B．48C．52D．546．在ABC，||||BCACBCBAACAB是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设,24,0,0abbaba则（）A．a+b有最大值8B．a+b有最小值8C．ab有最大值8D．ab有最小值88．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是（）A．（10，1）B．（2，10）C．（5，7）D．（7，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，DE与AC交于点F，若AEF的面积是1cm2，则CDF的面积是cm2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x的值为，样本数据落在14,6内的频数为.12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为11tyx（参数Rt），圆C的参数方程为sin1cosyx（参数2,0），则圆心到直线l的距离是.13．在右边的程序框图中，若输出i的值是4，则输入x的取值范围是.14．函数)10(12xxy图象上点P处的切线与直线1,0,0xxy围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于，此时点P的坐标是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（12分）已知函数xbxaxfcossin)(的图象经过点).1,3(),0,6(（I）求实数a、b的值；（II）若]2,0[x，求函数)(xf的最大值及此时x的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.（III）当二面角B—PC—D的大小为32时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值E.18．（13分）已知函数.ln)(xaxxf（I）当a0时，求函数)(xf的单调区间；（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是,23求a的值.19．（13分）在直角坐标系xOy中，点M到点)0,3(),0,3(21FF的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线bkxyl:与轨迹C交于不同的两点P和Q.（I）求轨迹C的方程；（II）当0AQAP时，求k与b的关系，并证明直线l过定点.20．（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列}{na构成：①;212nnnaaa②存在实数M，使.Man（n为正整数）（I）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321aaaaabann其中中1,4,5,4,154321bbbbb；试判断数列}{},{nnba是否为集合W的元素；（II）设}{nc是各项为正的等比数列，nS是其前n项和，,47,4133Sc证明数列WSn}{；并写出M的取值范围；（III）设数列,}{Wdn且对满足条件的M的最小值M0，都有)(*NnMdnn.求证：数列}{nd单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分）9．410．32411．0.09,68012．213．4,214．)45,21(,45三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（12分）解：（I）∵函数xbxaxfcossin)(的图象经过点)1,3(),0,6(，1212302321baba…………4分解得：1,3ba…………5分（II）由（I）知：)6sin(2cossin3)(xxxxf…………8分],3,6[6],2,0[xx…………9分2,36xx即当时，)(xf取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I）PA面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD.∴BD⊥平面APC，FG平面PAC，∴BD⊥FG…………7分（II）当G为EC中点，即ACAG43时，FG//平面PBD，…………9分理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG//平面PBD.…………13分（III）作BH⊥PC于H，连结DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，…………11分即,32BHD∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角…………12分连结EH，则PCEHBHEBDEH,3,,,3tanECBEEHBEBHE而,33sin,3ECEHPCAEHEC,22tanPCA∴PC与底面ABCD所成角的正切值是22…………14分解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）D（0，1，0），P（0，0，a）（a0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(mmmGaFE（I）),2,21,21(),0,1,1(ammFGBD002121mmFGBDFGBD…………5分（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，而),21,21(aEP，由EPFG可得aam22121，解得,1,43m…………7分,43),0,43,43(ACAGG故当ACAG43时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC的一个法向量为),,,(zyxu则00BCuPCu，而)0,1,0(),,1,1(BCaPC00yazyx，取z=1，得)1,0,(au，同理可得平面PBC的一个法向量)1,,0(av设vu,所成的角为0，则,21|32cos||cos|即,21111,21||||||22aavuvu1a…………12分∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，2221tanACPAPCA…………14分17．（14分）解：（I）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，则,419132322121pp得所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p，由（I）知，211p师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：012P919494徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：012P414241所以3674191419442912p…………9分（III）的分布列为01234P36136636133612364…………13分的期望为373644361233613236613610…………14分18．（13分）解：函数xaxxfln)(的定义域为),0(…………1分221)('xaxxaxxf…………3分（1）.0)(',0xfa故函数在其定义域),0(上是单调递增的.…………5分（II）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a1时，,0)('xf函数)(xf单调递增，其最小值为,1)1(af这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾；…………6分②当a=1时，函数exf,1)(在单调递增，其最小值为,1)1(f同样与最小值是23相矛盾；…………7分③当ea1时，函数axf,1)(在上有0)('xf，单调递减，在ea,上有,0)('xf单调递增，所以，函数)(xf满足最小值为1ln)(aaf由,,231lneaa得…………9分④当a=e时，函数,0)(',1)(xfexf上有在单调递减，其最小值为,2)(ef还与最小值是23相矛盾；…………10分⑤当ae时，显然函数],1[)(exf在上单调递减，其最小值为,21)(eaef仍与最小值是23相矛盾；…………12分综上所述，a的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(到点M的距离之和是4，M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422yx…………3分（2）将bkxy，代入曲线C的方程，整理得0428)41(22kxxk…………5分因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，所以.0)14(16)44)(41(464222222bkbkbk①设),,(),,(2211yxQyxP，则221221414,4128kxxkkxx②…………7分且.)()())((2212122121bxxkbxxkbkxbkxyy③显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），所以),,2(),,2(2211yxAQyxAP由.0)2)(2(,02121yyxxAQAP得将②、③代入上式，整理得.05161222bkbk…………10分所以,0)56()2(bkbk即,562kbkb或经检验，都符合条件①当b=2k时，直线l的方程为.2kkxy显然，此时直线l经过定点（-2，0）点.即直线l经过点A，与题意不符.当kb56时，直线l的方程为).65(56xkkkxy显然，此时直线l经过定点)0,56(点，且不过点A.综上，k与b的关系是：,56kb且直线l经过定点)0,56(点…………13分20．（14分）解：（I）对于数列}{na，取,22231aaa显然不满足集合W的条件，①故}{na不是集合W中的元素，…………2分对于数列}{nb，当}5,4,3,2,1{n时，不仅有,42,32342231bbbbbb,32433bbb而