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1高中数学例题教学策略与例题设计技巧(高中数学讲座4)主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室书记）时间：2014年10月14日(编号：zhongwei196207blog—22—04)编者按:本人对(钟炜的博客)“（第22类）高中数学讲座”分为若干个专题,每个专题分为几个版块。本文《高中数学例题教学策略与例题设计技巧（第22类高中数学讲座之专题4）》分为六个版块：一是浅谈高中数学例题教学;二是优化高中数学例题教学的策略;三是高中数学例题教学的有效性探析;四是《高中数学教学中优化例题教学，提高学生思维能力的策略研究》结题报告;五是高中数学教学中例题设计技巧研究;六是高中数学教学中例题设计技巧初探。致谢各位原作者和诸位读者。版块一:浅谈高中数学例题教学来源:中国论文网日期：2013年4月18日例题教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。通过例题教学，要达到掌握基础、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的。要达到这一目的，就必须在例题的教学方法上遵循一定的原则。一、目的性教材中的每个例题都比较具体地反映了教学的有关内容，及学生应掌握的程度，但各个例题的目的和作用都不一样，有的为了引入某一个概念；有的是为了推导某一个公式；有的是为了揭示某一公式或法则的运用；有的是为了让学生掌握某种解题技巧；有的用来强调书写规范和解题格式；有的则用来突出某种数学思维的方法。由于它们被安排在不同的特殊教学环节上，其目的也就有所侧重。因此，教师必须根据教学的实际和需要，深入钻研例题，领会和认识例题的意图，突出重点，兼顾其他，充分发挥例题的作用。这三道例题总的教学目的是，帮助学生深入理解和记忆两角和与差的正切公式的意义，以及掌握公式的运用，但它们的教学目的各有侧重，因此教学中应做到有的放矢。题（1）是模仿性练习题，要求进行简单直接的运用公式，目的是帮助学生熟悉公式的基本结构，属于公式运用的最低能力要求。题（2）是选择组合性练习题，要求间接地运用公式，其本身并不直接体现要用两角和的正切公式，但又比较容易看出要用两角和的正切公式，进而还要利用角的正切函数值求出角的值。这涉及了公式以外相近的其他知识，具有知识的小范围综合和公式运用的小范围迁移，属于公式运用的稍高能力。题（3）则是综合运用性练习题，要求在情境相对较远的数学问题中对知识进行综合的运用，其与两角和与差的正切公式的关系已很不明显，涉及公式以外较远的其他知识，具有知识较大范围的综合性和公式运用的较大范围迁移性，属于公式运用的较高能力要求。二、接受性例题教学首要的是保证学生能听得懂，接受得了。要做到这一点，教师此前必须做到“吃透两头”，一头是“吃透例题”，即对例题的内容、知识范围、与前后知识的联系、技能水平、难易程度等要一清二楚；另一头是“吃透学生”，即对学生的知识水平、能力水平、经验水平、年龄特征等要心中有数，对于一些难度较大，估计学生一下接受有困难的例题，要降低难度，搭好台阶。使学生感到只要自己“跳一跳”就能达到，而不是无论如何自己也难以达到，或者非得老师帮忙才能达到。例题：化下列各式为一个角的三角函数形式：①sinα+cosα；②sinα-cosα；③asinα+bcosα③。此例题目的是学习用公式asinα+bcosα=sin（α+φ）进行三角变换，这是一个非常重要的、有广泛应用的公式，让学生真正理解和熟练运用这个公式十分重要。但如果一2开始就让学生直接求解公式的一般形式③asinα+bcosα=sin（α+φ），对大多数学生的认识能力而言难度较大，所以前两题实际是为认识最后的公式一般形式而设计的思维台阶。这种处理是分散难点，表面上是难度上由易到难，本质上是，从具体到抽象的思维过渡，由表及里、由浅入深逐步地揭示公式的本质。这样，既能突出重点，又能突破难点。三、启发性例题教学中启发的关键，仍然是摸清学生原有的知识背景和思维水平，遵循学生的认知规律，进程与学生的思维同步。不能脱离学生的思维起点，不能置学生的心理、思维状态于不顾，强制学生按教师提出的方法、途径去思考和解决问题。例题：已知RtΔABC的直角边AC=a，BC=b，点S是ΔABC所在平面外一点，SA=SB=SC=c，求三棱锥P-ABC的体积。教学中，若教师直接指出S点在平面ABC上的射影H的位置，可由SA=SB=SC，知H是ΔABC外心，即斜边AB的中点。顺着这一思路，问题很容易解决，学生也很容易理解，但学生的思维并未得到启迪和发展。这样的教学只注重了结果而忽视了过程，丢失了培养和发展学生思维的契机。实际上，学生极有可能把H点画在ΔABC内部，如此就很难与题设条件挂上钩，致使解题陷入困境。教师应当未雨绸缪，估计在先，让学生先走点弯路，受点挫折，然后抓住时机，因势利导，启发学生观察探索H点在RtΔABC中的位置关系，让学生猜想H点可能是三角形的外心、内心等，进而发现如何由题设条件决定H点的位置。四、示范性例题，顾名思义是起“范例”作用的问题，这就要求例题本身要能真正具有示范功能。例题的示范性就是问题内容典型，思路探索典型，解决方法典型，推理过程典型，运算步骤典型。这里的典型，特别是指在“问题的一般性”、“方法的常规性”、“思维的启迪性”、“推理的严密性”、“步骤的规范性”等方面具有代表性。例题：求证：证明：因为，所以原式只须证，即证，由，得证。在此基础上，再引导学生由，发现利用放缩法和部分分式的证明思路，更加顺乎自然。这样让学生在掌握常规解题基本方法的基础上，引导学生发现一些特殊的方法、思路，符合由浅入深、循序渐进的教学原则。五、延伸性在新知识的学习中，学生也能掌握某种解题模式，在一定阶段内他们往往会机械地照搬这个固定模式解题。对此如果不随时予以注意，很可能形成某种心理定势，造成思维的呆板和僵化。因而在例题教学中，当学生获得某种解题的基本方法以后，应及时通过将原题的条件、结论、情境或方法的延拓变通，使学生进一步理解和掌握例题所阐述的概念原理、规律、数量关系或解题方法，从而开拓思维空间，达到培养创造性思维的目的。例题：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是CB、CD上的点，CH∶CB=CG∶CD=2∶3，求证：四边形EFGH是梯形。这道题的目的是加强对公理（平行于同一条直线的两条直线互相平行）的理解和运用。对这个题可以进行很多变化：变式1：已知条件不变，改求证：HE与GF交于一点。变式2：改为已知三棱锥A-BCD中，AB⊥CD，AD⊥BC，求证AC⊥BD。变式3：改为边长为a的四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求BE、DF所3成的角。例题教学是最基本的解题教学，也是最重要的解题教学，学生学习解题的机会一般都是在例题教学中，因此，高度重视例题教学对提高学生的解题能力具有非常重要的意义。版块二:优化高中数学例题教学的策略作者:李增源来源:《广西教育.B版》2013年第01期转载:中国论文网日期：2014年7月16日关键词:高中数学例题教学“研、变、情、梳”例题是数学教科书的重要内容，是为解释数学概念、原理和命题而设置的。例题学习是学生获取数学知识、掌握数学技能、体悟数学思想方法的重要途径。课本上的例题具有很强的针对性、典型性和示范性，能帮助学生在知识与能力上获得发展。如何充分挖掘这些例题的潜在功能，调动学生的学习积极性，激活学生的思维，是每一位数学教师需要深入思考和研究的问题。笔者在实践中进行了有益的尝试，探讨了如何通过“研、变、情、梳”的例题教学策略去提高课堂教学效率。一、“研”――研讨例题的功能加强“双基”一直是对我国基础教学的基本要求，这个要求在实施新课改的今天同样不变。例题教学也要切实打好学生的基础，所以教师必须对课本例题进行深入的研究，要明确例题教学的目标，明确例题所蕴含的背景知识、揭示的数学思想、示范的解题方法。同时例题教学要起到承前启后的作用，所以教师要认真钻研课本习题，精心处理好例题与课后、课外习题的关系。例如，在人教版全日制普通中学教科书《数学（必修）》第一册（上）的复习参考题中有一条题目“ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是什么？”相应地在上“一元二次不等式解法”这课时，对“例1.解不等式2x2-3x-20”的教学除了要揭示例题蕴含的函数方程思想和数形结合思想外，还应该有意识地引导学生注意对判别式的判断可能涉及的分类讨论思想，让学生在初步掌握这些数学思想的基础上尝试探讨简单的一元二次方程实根分布的问题。倘若对课本例题研究不透，教学时只是就例题讲例题，学生学到的知识单一，练习时对出现的习题就会有突如其来的感觉，这样课堂教学效率就不高。例题教学不只是对一个具体问题进行知识方法的传授，充分发挥例题的功能可以促进学生智力与能力的形成和发展，关系课堂教学的质量，因此教师备课时应对例题做认真的研讨。二、“变”――多方位变化例题1.一题多解课本上例题的选择与编排要考虑它要能起到巩固知识的作用，又要考虑它要符合构建知识体系的需要，所以课本上的例题给出的解题方法有一定局限性，未必是最佳方法。在教学过程中教师应注意通过变化例题来培养学生的发散思维、优化意识。如课本第三册有一道例题：用数学归纳法证明12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6。教学时可提出要求：证明1+++…+2（n∈N*）。学生用数学归纳法分析、综合后，发现解题的关键是证2+有的学生用分析法：要证2+2成立，即要证2-2，也就是要证不同的学生从不同的角度去思考，得出各种解题的方法。其中，比较法体现了思维的流畅；基本不等式法、拼凑平方法展示了思维的变通；在分析法的基础上得出的放缩法令人耳目一新，突出其思维的独特性。让学生交流这些方法就可以落实发散思维的训练。2.一题多变纵观近几年的高考数学试卷，源于课本的试题占有一定的比例，大多数是将课本上的题型进行变式提高，考查学生分析、解决问题的能力。因此，在例题教学中应有意识地进4行变式教学，如变换题设和结论，改变图形位置，适当删减或增加条件等。“变”是为了发现不变的规律，发现知识的内在联系，增强学生思维的创造性。例如，对“已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，试问，f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？”这个问题，学生发现f（x）在（-∞，0）上是增函数后让学生进一步探索：（1）已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？（2）若f（x）是偶函数呢？（3）由此你怎么看这类问题？（4）反过来怎么样？一题多解和一题多变能使学生融会贯通所学知识，不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的数学思维，应成为例题教学的重要手段。三、情――知识教学有情味数学知识有着丰富的现实和历史背景，如果数学教学只是单纯地进行知识方法的教学，不关注学习者的生活体验，教学效果将很难提高。教育家波利亚认为：“学习材料的生动和趣味是学习的最佳刺激。”所以例题教学应重视挖掘数学知识的生活情味。例如，课本第二册（上）的例题“已知a，b，m都是正数，并且a。”是用最基本最重要的比较法来证明的，当然也可以适当引导学生用分析法、综合法、构造法等来证明。但是该不等式是否可以赋予一定的生活内容，将其形象地表征为“糖水加糖后水更甜”呢？类似这样具有生活背景的课本实例比比皆是，只要教师做个有心人，就能实现数学教学生活化，提高教学效果。四、梳――梳理知识的结构《普通高中数学课程标准解读》指出：“数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要的数学思想方法的领悟，对数学活动经验的条理化，对数学知识的自我组织等活动来实现。”梳理知识的结构，清晰地展示知识的内在联系对促进学生牢固掌握、灵活运用知识是很重要的，所以要让学生养成及时归纳、总结、反思的学习习惯，学会科学梳理知识的结构。较好的梳理知识结构的方法是画出表征知识的结构图。例如，对上述的例题“证明1+++…+研究表明，使用图表将知识、思路进行可视化处理，能极大地提高学生的理解能力和记忆能力，有利于培养学生的逻辑思维、创造性思维。养成梳