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2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A∩B=（）A.{x-1＜x＜1}B.{x-2＜x＜1}C.{x-2＜x＜2}D.{x0＜x＜1}1.D.{|21}{|02}{|01}ABxxxxxx．2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.32.A．12(1)(3)1311(31)42zziiii3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数3．D．()33(),()33()xxxxfxfxgxgx．4.已知{}na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S=A．35B.33C.31D.294．C．设{na}的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a。由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa．∴37418aqa，即12q．3411128aaqa，即116a．5.“14m”是“一元二次方程20xxm”有实数解的A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件5．A．由20xxm知，2114()024mx14m．6.如图1，△ABC为三角形，AA//BB//CC,CC⊥平面ABC且3AA=32BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是6．D．7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且(24)PX=0.6826，则p（X4）=（）A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.15857．B．1(34)(24)2PXPX=0.3413，(4)0.5(24)PXPX=0.5-0.3413=0.1587．8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒8．C.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9.函数()fx=lg(x-2)的定义域是.9．(1,+∞)．∵10x，∴1x．10.若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.10．C．(0,0,1)cax，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxx，解得2x．11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.11．1．解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，13sinsin60A，即1sin2A．由ab知，60AB，则30A，180180306090CAB，sinsin901C.12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是12．22(5)5xy．设圆心为(,0)(0)aa，则22|20|512ar，解得5a．13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2分别为1,2，则输出地结果s为.13．填32．11.51.5263442s．14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=23a，∠OAP=30°，则CP＝______.14．98a．因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.在RtOPA中，3cos302BPAPaa.由相交线定理知，BPAPCPDP，即332223aaCPa，所以98CPa．15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ2π）中，曲线ρ=2sin与cos1p的交点的极坐标为______．15．3(2,)4．由极坐标方程与普通方程的互化式cos,sinxy知，这两条曲线的普通方程分别为222,1xyyx．解得1,1.xy由cos,sinxy得点（-1，1）的极坐标为3(2,)4．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分14分）已知函数()sin(3)(0,(,),0fxAxAx在12x时取得最大值4．(1)求()fx的最小正周期；(2)求()fx的解析式；(3)若f(23α+12)=125,求sinα．3sin(2)25，3cos25，2312sin5，21sin5，5sin5．17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495，（495,500，……（510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18.（本小题满分14分）如图5，¼ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足5FBDFa，FE=6a．图5（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得22,33BQFEFRFB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.由BQ=23FE,FR=23FB知,||QREB.而EB平面BDF，∴||QR平面BDF，而平面BDF平面RQD=DG，∴||||QRDGEB.由（1）知，BE平面BDF，∴DG平面BDF，而DR平面BDF，BD平面BDF，∴,DGDRDGDQ，∴RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在RtBCF中，2222(5)2CFBFBCaaa，22sin55FCaRBDBFa，21cos1sin5RBDRBD．5222935sin29293aRDBa．故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是22929．19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设该儿童分别预订,xy个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则2.54zxy。可行域为12864,6642,61064,0,,0,.xyxyxyxxNyyN即3216,7,3532,0,0.xyxyxyxy作出可行域如图所示：经试验发现，当4,4xy时，花费最少，为2.544426元．20．（本小题满分为14分）一条双曲线2212xy的左、右顶点分别为A1,A2，点11(,)Pxy，11(,)Qxy是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0,h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且12ll,求h的值。故221(2)2yx，即2212xy。（2）设1:lykxh，则由12ll知，21:lyxhk。将1:lykxh代入2212xy得22()12xkxh，即222(12)4220kxkhxh，由1l与E只有一个交点知，2222164(12)(22)0khkh，即2212kh。同理，由2l与E只有一个交点知，22112hk，消去2h得221kk，即21k，从而22123hk，即3h。21．（本小题满分14分）设A(11,xy),B(22,xy)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为2121(,)||||PABxxyy.当且仅当1212()()0,()()0xxxxyyyy时等号成立，即,,ABC三点共线时等号成立.（2）当点C(x,y)同时满足①P(,)AC+P(,)CB=P(,)AB，②P(,)AC=P(,)CB时，点C是线段AB的中点.1212,22xxyyxy，即存在点1212(,)22xxyyC满足条件。,