武汉市二中2015年下学期高一数学(理)期末试卷及答案

武汉二中2014——2015学年下学期高一年级期末考试数学（理科）试卷命题教师:江峰审题教师:赖海燕考试时间:2015年7月2日上午9:00—11:00试卷满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin15cos15的值为（）A.12B.64C.62D.3222.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为（）]3.设,ab是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则能得出ab的是（）A.a,//b,B.a,b,//C.a,b,//D.a,//b,4.{}na为等差数列,nS为其前n项和,77521aS，，则10S（）A.40B.35C.30D.285.如图所示,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,BC＝AC,AC1⊥A1B,M,N分别为A1B1,AB的中点,给出下列结论:①C1M⊥平面A1ABB1;②A1B⊥AM;③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.36.在ABC中,若2,60,7aBb,则BC边上的高等于（）侧视A.BDCA.332B.3C.3D.57.已知圆C:x2＋y2－2x＝1,直线l:y＝k(x－1)＋1,则与C的位置关系是（）A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心8.已知,ab是正数,且满足224ab.那么22ab的取值范围是（）A.416(,)55B.4(,16)5C.(1,16)D.16(,4)59.已知数列{}na满足*7(13)10,6(),6Nnnanananan,若{}na是递减数列,则实数a的取值范围是（）A.(31,1)B.(31,21)C.(85,1)D.(31,85)10.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1­EDF的体积为（）A.16B.15C.14D.51211.在RtABC中,90C,4,2ACBC,D是BC的中点,若E是AB的中点,P是ABC（包括边界）内任一点.则AD·EP的取值范围是（）A.[6,6]B.[9,9]C.[0,8]D.[2,6]12.数列na满足:11a,且对每个nN,1,nnaa是方程230nxnxb的两根,则nb的前6项的和的4倍为（）A.183B.132C.528D.732二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分13.已知,xy满足约束条件24,2400xyxyxy，，则zxy的最大值为.14.已知圆C:22680xyx,直线ykx与圆C相切,且切点在第四象限,则k.15.已知0＞x,0＞y,且412yx,若6222mmyx恒成立,则m的取值范围是___________________16.等差数列{}na中,11101aa,且其前n项和Sn有最小值,以下命题正确的是.①公差0d;②{}na为递减数列;③S1,S2……S19都小于零,S20,S21……都大于零;④19n时,Sn最小;⑤10n时,Sn最小.三、解答题:本大题共6小题,共70分.17、18题10分,19、20、21题12各12分,22题14分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.公差不为零的等差数列na中,37a,249,,aaa成等比数列.(1)求数列na的通项公式;(2)设2nanb,求数列nb的前项和nS.18.已知f(x)＝a·b,其中a＝(2cosx,－3sin2x),b＝(cosx,1)(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)＝－1,a＝7,AB→·AC→＝3,求b和c的值(b＞c).19.已知直线l的方程为t(x-1)+2x+y+1＝0(t∈R)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l不经过第二象限,求实数t的取值范围.20.已知圆C:x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l:x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围;(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝AB＝12AD,∠BAD＝60º,点E,F分别为AD,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求二面角D-PA-B的余弦值.22.设nS是非负等差数列na的前n项和,,,mnpN,若2mnp,求证:(1)232,,nnnnnSSSSS成等差数列;(2)112mnpSSS.武汉二中2014——2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷参考答案1－6CDCADA7－12CBDABD13.83;14.24;1524m;16.①③⑤17.(1)数列{an}的通项公式为32nan(2)322nnb,数列{bn}是以2为首项，8为公比的等比数列，2(81)7nnS18.(1)T＝πf(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z(2)b＝3，c＝219.(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，所以t＝1，直线l的方程为3x＋y＝0.当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，得12tt＝t－1，即t＋2＝1，所以t＝－1，直线l的方程为x＋y＋2＝0.故所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将直线l的方程化为y＝－(t＋2)x＋t－1，因为l不经过第二象限，所以(2)010tt或(2)010tt所以t≤－2，所以t的取值范围是(－∞，－2].20.(1)圆的方程为(x＋12)2＋(y－3)2＝37－4m4，故有37－4m40，解得m374.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋m＝0，消去y，得x2＋(3－x2)2＋x－6×3－x2＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)0，解得m8.∴m的取值范围是(8，374)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得OP→·OQ→＝0，即x1x2＋y1y2＝0.②由(1)及根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝4m－275.③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝3－x12×3－x22＝14[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入上式，得y1y2＝m＋125，④将③④代入②，得x1x2＋y1y2＝4m－275＋m＋125＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ0成立，∴m＝3.21.（1）如图，取PB的中点G，联结AG，FG，∵点F为PC的中点，∴FG∥BC,且FG=12BC又底面ABCD是平行四边形，点E为AD的中点∴AE∥BC,且AE=12BC∴FG∥AE且FG=AE∴四边形AEFG是平行四边形∴EF∥AC,又AG平面PAB，EF平面PAB∴EF∥平面PAB（2）如图，取PA的中点N，连BN,DN∵△PAB是等边三角形,∴BN⊥PA.∵AB=12AD,∠BAD=60º∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90º又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB.BD平面ABCD,BD⊥AB∴BD⊥平面PAB又PB平面PAB，∴BD⊥PB又PB=AB,∴Rt△PBD≌Rt△ABD∴PD=AD,DN⊥AP，∴∠DNB是二面角D-PA-B的平面角．由BD⊥平面PAB可知BD⊥BN,在Rt△BDN中,BD=3AB=2BN,DN=5BN,∴5cos5BNDNBDN∴二面角D-PA-B的余弦值为5522.(1)证明略(2)证明：在等差数列na中，由2,mnp易得2mnpaaa，等式两边同时加12a，得111()()2()mnpaaaaaa.由等差数列前n项和公式化简得2pmnSSSmnp，有21111111112mnmnmnnmSSSSSSmnmnSmSnmnmnmn因此，221111pmnSSSpmn，故221111()1124mnpppmnSSSSmnmn.又22()2()118444pppnmmnmnmnmnSSSmn（以上等号可同时成立）故112mnpSSS成立