北京市高考理科数学样题及解析

北京市2010年高考理科数学参考样题安徽省灵璧师范陈伟样题选自高考数学北京卷和“北京市新课程高考形式与内容改革试题”一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【试题1】(2003年理工类第1题)设集合2{|10}Axx，2{|log0}Bxx，则AB等于()A.{|1}xxB.{|0}xxC.{|1}xxD.{|11}xxx或【答案】A【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元二次不等式的解法，对数函数的性质.本题难度为0.98【试题2】(2006年理工类第1题)在复平面内，复数1ii对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【说明】本题考查复数的概念及复数的几何意义.本题难度为0.80【试题3】(2006年理工类第3题)在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A.36个B.24个C.18个D.6个【答案】B【说明】本题考查排列、组合的基础知识，考查推理能力.经分析可知要从1，2，3，4，5中取三个数，使其和为奇数，只有取一个奇数两个偶数或本个奇数才符合要求.于是可得满足条件的三位数的个数共有1233323324CCAA.本题难度为0.75【试题4】(2004年理工类第3题)设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同平面.给出下列命题：①若m，//n，则mn；②若//，//，m，则m；③若//m，//n，则//mn；④若，，则//.其中正确命题的序号是A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.本题难度0.90【试题5】(20035年理工类第3题)若||1a，||2b，cab，且ca，则向量a与b的夹角为A.30B.60C.120D.150【答案】C【说明】本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件.由两向量的夹角公式cos||||abab和已知条件知，这里只需求得ab的值即可.由cab，得acaaab，再由已知求得1ab，1cos2，得120.本题难度为0.70【试题6】(2005年理工类第2题)“12m”是“直线(2)310mxmy与直线(2)(2)30mxmy相互垂直”的A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【说明】本题考查充分必要条件的概念以及两直线垂直的条件.当12m时，两直线方程为5320xy，3560xy，由于它们相互垂直，所以12m是两直线垂直的充分条件.当2m时，两直线方程为16y，34x，由于它们相互垂直，所以12m不是两直线垂直的必要条件.本题难度为0.63【试题7】(2008年测试一第7题)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：1s、2s分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，1x、2x分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有A.1x2x，1s2sB.1x2x，1s2sC.1x2x，1s2sD.1x2x，1s2s【答案】B【说明】本题主要考查平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得1x2x，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到1s2s.本题难度为0.78【试题8】(由2008年测试题改编)当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中①处的数应该是A.7B.8C.10D.15【答案】C【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.由(1)(3)6S，得10S.【试题9】(由2009年测试题改编)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A.27B.9C.274D.33【答案】D78910甲的成绩环数6446频数78910乙的成绩环数4664频数开始S输出是结束1i1ii否SSm21mi3i…S①俯视图正视图侧视图2333【说明】本题主要考查简单组合体的三视图及其体积.由几何体的三视图可知该组合体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，于是该几何体的体积为1333332333.【试题10】(2006年理工类第5题)已知(31)4(1)()log(1)aaxaxfxxx…是(,)上的减函数，那么a的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)7【答案】C【说明】本题以分段函数为载体，考查函数的单调性的概念以及一次函数和对数函数的性质.函数()fx在(,1)内为减函数的条件是310a.函数()fx在[1,)内为减函数的条件是01a.要使()fx是(,)上的减函数，还应有(31)14log1aaa….由上解得1173a„.本题难度为0.49【试题11】(由2008年理工类第7题改编)过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线1l、2l，当直线1l、2l关于yx对称时，它们之所成的锐角的大小为A.30B.45C.60D.75【答案】C【说明】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.设1l、2l交点为P，圆心为Q，切点分别为A、B，则PQ直线l，其中l：yx，如图所示.点(5,1)Q到l的距离|51|||222PQ，半径||2QA，在RtAPQ中||1sin||2QAAPQPQ，故30APQ，260APBAPQ.【试题12】(2006年理工类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中1x、2x、3x分别表示该时段单位时间通过路段AB、BC、CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A.123xxxB.132xxxC.231xxxD.321xxx【答案】C【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.依题意，可有122331203035305550xxxxxx，于是可得231xxx.本题难度为0.67【试题13】(2009年文史类第8题)设D是正123PPP及其内部的点构成的集合，点0P是123PPP的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}iSPPDPPPPi„，则集合S表示的平面区域是A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域BAC202x1x303x353055502PN1PM3PPQPlyOx1l2lAB【答案】D【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.如图，作线段01PP的中垂线MN，则在直线MN的下方(包括线上)的点满足01||||PPPP„.同样，作02PP、03PP的中垂线，得到集合S表示的平面区域是如图的六边形区域.本题难度为0.32二、填空题：把答案填在题中横线上.安徽省灵璧师范陈伟【试题14】(2004年理工类第9题)函数()cos223sincosfxxxx的最小正周期是【答案】【说明】本题主要考查三角函数的和角公式、二倍角公式以及三角函数周期的概念.由于()cos223sincos2cos(2)3fxxxxx，所以最小正周期是.本题难度为0.94【试题15】(2008年测试一第9题)在区间[0,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为【答案】13【说明】本题主要考查几何概型的概率计算.由于试验的全部结果构成的区域长度为9，构成该事件的区域长度为3，所以概率为3193.本题难度为0.54【试题16】(2004年理工类第14题)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}na是等和数列，且12a，公和为5，那么18a的值为，这个数列的前n项和nS的计算公式为【答案】3，525122nnnSnn为偶数时为奇数时【说明】本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.只要能够理解“等和数列”的概念，即可依题意得出已知的等和数列为2，3，2，3，2，3，…，于是可得答案.本题难度为0.72【试题17】(2006年理工类第13题)已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx„……，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于,最大值等于【答案】210【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的ABC及其内部，(1,3)A、(2,2)B、(1,1)C，分别求||OA、||OB、||OC，并比较大小可得结论.1C4yOxA4B本题难度为0.78【试题18】(2008年理工类第14题)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点(,)kkkPxy处，其中11x，11y，当2k…时，111215[()()]5512()()55kkkkkkxxTTkkyyTT，()Ta表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T，(0.2)0T.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为【答案】(1,2)，(3,402)【说明】本题命题意图是渗透新课标理念，主要考查试验观察、自主探究、实践应用和阅读自学能力，考查由特殊到一般，归纳，类比等逻辑思维方法.由111215[()()]5512()()55kkkkkkxxTTkkyyTT(2)k…，且11x，得22x，33x，44x，55x，61x.又因为11y，得21y，31y，41y，51y，62y.因此第6棵树种植点的坐标为(1,2).根据前6棵树种植点的坐标及递推关系，如图，可推测每行5个种植点，且第i行的纵坐标都是(1,2,3,)ii.由于200854013，因此第2008棵树种植在第402行的第3个位置，所以第2008棵树种植点的坐标应为(3,402).本题难度为0.41【试题19】(由2009年测试题改编)如图，⊙O两条弦AB、CD相交于圆内一点P，若PAPB，2PC，8PD，4OP，则该圆的半径长为【答案】42【说明】本题主要考查圆的有关性质，考查分析问题和解决问题的能力.由相交弦定理可知PAPBPCPD，因为PAPB，2PC，8PD，所以4PA.连结OA，因为PAPB，所以OPPA.于是该圆的半径为2242OAAPOP.【试题20】(由2009年测试题改编)圆C的极坐标方程为4sincos化成直角坐标方程为，圆心的直角坐标为【答案】2240xyxy，1(,2)2【说明】本题主要考查极坐标中的圆的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化.由4sincos，得24sincos，因为cosx，siny，所以2240xyxy，圆心的直角坐标为1(,2)2.三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.安徽省灵璧师范陈伟【试题21】(2006年理工类第15题)已知函数12sin(2)4()cosxfxx.⑴求()fx的定义域；BACDO