2011东城区高三一模文科数学试卷及答案

东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z满足(1i)2z，则z等于（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i（2）命题“0xR，20log0x”的否定为（A）0xR，20log0x（B）0xR，20log0x（C）xR，2log0x（D）xR，2log0x（3）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()ln(1)fxx，则函数()fx的大致图像为（A）（B）（C）（D）（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）②和④（5）已知函数sinyx(0,0)2的部分图象如图所示，则点P,的坐标1O1xy1xyO１OxyOxyo356xy11为（A）(2,)3（B）(2,)6（C）1(,)23（D）1(,)26（6）若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为（A）5n（B）6n（C）7n（D）8n（7）已知函数131()()2xfxx，那么在下列区间中含有函数()fx零点的为（A）1(0,)3（B）11(,)32（C）1(,1)2（D）(1,2)（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面，，两两互相垂直，点A，点A到，的距离都是3，点P是上的动点，满足P到的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值为（A）3（B）323（C）36（D）33第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）抛物线28yx的焦点坐标为．（10）在等差数列na中，若1232,13aaa，则456aaa．（11）已知向量a，b，c满足20abc，且ac，||2a，||1c，则||b．（12）已知π(,π)2,π1tan()47,则sincos．（13）设22,1,()log(1),1,xaaxfxxx且(22)1f，则a；((2))ff．7580859095100分数频率组距0.010.020.040.060.070.030.05ECABDP（14）设不等式组kkxyyx4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当1k时，1kkS的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．4cos5C，2coscbA．（Ⅰ）求证：AB；（Ⅱ）若△ABC的面积152S，求c的值．（16）（本小题共13分）已知四棱锥PABCD的底面是菱形．PBPD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDE．（17）（本小题共13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．(18)（本小题共14分）已知函数32()fxxaxxc，且2'()3af．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅲ）设函数xexxfxg])([)(3，若函数)(xg在]2,3[x上单调递增，求实数c的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点(0,)Pm的直线l与椭圆C交于不同的两点,AB，且3APPB，求实数m的取值范围．（20）(本小题共13分)对于)2(nn*N，定义一个如下数阵：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211其中对任意的ni1，nj1，当i能整除j时，1ija；当i不能整除j时，0ija．（Ⅰ）当4n时，试写出数阵44A；（Ⅱ）设njjjniijaaaajt211)(．若][x表示不超过x的最大整数，求证：njjt1)(niin1][．OECDBAP北京市东城区2010-2011学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）C（4）D（5）A（6）B（7）B（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）(2,0)（10）42（11）22（12）51（13）7；6（14）32注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）（Ⅰ）证明：因为2coscbA，由正弦定理得sin2sincosCBA，所以sin()2sincosABBA，sin()0AB，在△ABC中，因为0πA，0πB，所以ππAB所以AB．……………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ab．因为4cos5C，所以3sin5C．因为△ABC的面积152S，所以115sin22SabC，5ab．由余弦定理2222cos10cababC所以10c．……………………13分（16）（共13分）（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC．因为EO平面BDEPC平面BDE所以PC∥平面BDE．……………………6分（Ⅱ）证明：连结OP因为PBPD，所以OPBD．在菱形ABCD中，BDAC因为OPACO所以BD平面PAC因为BD平面BDE所以平面PAC平面BDE．……………………13分（17）（共13分）解：(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3，第4组的频率为0.0450.2，第5组的频率为0.0250.1．……………………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030，第4组的人数为0.210020，第5组的人数为0.110010．因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：306360，第4组：206260，第5组：106160．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．……………………8分(Ⅲ)设第3组的3位同学为1A，2A，3A，第4组的2位同学为1B，2B，第5组的1位同学为1C．则从六位同学中抽两位同学有：1213111211(,),(,),(,),(,),(,),AAAAABABAC23212221(,),(,),(,),(,),AAABABAC313231(,),(,),(,),ABABAC121121(,),(,),(,),BBBCBC共15种可能．其中第4组的2位同学为1B，2B至少有一位同学入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),ABABABAB3112321121(,),(,),(,),(,),(,),ABBBABBCBC共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155．……………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由32()fxxaxxc，得2'()321fxxax．当32x时，得22222'()3()2'()()13333aff，解之，得1a．……………………4分（Ⅱ）因为32()fxxxxc．从而21'()3213()(1)3fxxxxx，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗所以)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．……………………9分（Ⅲ）函数32()(())()xxgxfxxexxce，有2')(21)()xxgxxexxce（=2(31)xxxce，因为函数在区间]2,3[x上单调递增，等价于2()310hxxxc在]2,3[x上恒成立，只要0)2(h，解得11c，所以c的取值范围是11c．……………………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：22221(0)xyabab由题意：222122331caaacbcabc所求椭圆方程为：22143xy．……………………5分（Ⅱ）若过点(0,)Pm的斜率不存在，则32m．若过点(0,)Pm的直线斜率为k，即：32m时，直线AB的方程为ymkx由22222(34)841203412ykxmkxkmxmxy2222644(34)(412)mkkm因为AB和椭圆C交于不同两点所以0，22430km所以2243km①设1122(,),(,)AxyBxy由已知3APPB，则21212228412,3434kmmxxxxkk②1122(,),(,)APxmyPBxym123xx③将③代入②得：222244123()3434kmmkk整理得：22221612390mkkm所以222931612mkm代入①式得2222934343mkmm2224(3)043mmm，解得2334m．所以332m或332m．综上可得，实数m的取值范围为：33(3,][,3)22．……………………14分（20）(共13分)解：（Ⅰ）依题意可得，441111010100100001A……………………4分（Ⅱ）由题意可知，)(jt是数阵nnA的第j列的和，因此njjt1)(是数阵nnA所有数的和．而数阵nnA所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的ni1，不超过n的倍数有i1，i2，…，iin][．因此数阵nnA的第i行中有][in个１，其余是0，即第i行的和为][in．所以njjt1)(niin1][．……………………13分