2011年高考一轮课时训练(理)5.6正、余弦定理及应用 (通用版)

第六节正、余弦定理及应用题号12345答案一、选择题1．(2009年德州模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.232．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为()A．85cm2B．610cm2C．355cm2D．20cm23．(2009年成都模拟)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，则a2＝b()b＋c是A＝2B的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而充分条件D．既不充分又不必要条件4.如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进2003m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为()A．200mB．300mC．400mD．1003m5．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507分钟B.157分钟C．21.5分钟D．2.15分钟二、填空题6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC＝________.8．如右图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察．测得CD＝3km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，(A、B、C、D在同一平面内)，则A、B两点间的距离为________．三、解答题9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin()2A＋C的值．10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosB＝－513，cosC＝45.(1)求sinA的值；(2)设△ABC的面积S△ABC＝332，求BC的长．参考答案1．解析：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c＝2a，则b＝2a，cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.答案：B2．解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm2.答案：B3．解析：设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a2＝b()b＋c，则sin2A＝sinB(sinB＋sinC)，则1－cos2A2＝1－cos2B2＋sinBsinC，∴12(cos2B－cos2A)＝sinBsinC，sin(B＋A)sin(A－B)＝sinBsinC，又sin(A＋B)＝sinC，∴sin(A－B)＝sinB，∴A－B＝B，A＝2B，若△ABC中，A＝2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2＝b()b＋c，所以a2＝b()b＋c是A＝2B的充要条件．答案：A4．解析：由条件可得cos(π－4θ)＝20032×2－60022×20032＝－12，∴sin4θ＝32，∴山峰的高度为2003×32＝300(m)．答案：B5．解析：t小时后，甲乙两船的距离为s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)cos120°＝28t2－20t＋100.∴当t＝202×28＝514小时＝514×60分钟＝1507分钟时，甲乙两船的距离最近．答案：A6．解析：m⊥n⇒3cosA－sinA＝0⇒A＝π3，由正弦定理得，sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC＝sin2C⇒C＝π2.∴B＝π6.答案：π67．解析：由A、B、C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，得B＝π3，由a、b、c成等比数列，得b2＝ac，∴ac＝16，∴S△ABC＝12acsinB＝43.答案：438．解析：∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠CDA＝30°，∴∠DAC＝30°⇒AC＝DC＝3.在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，∴BC＝DC·sin75°sin60°＝6＋22，在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos75°＝5⇒AB＝5km.答案：59．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝4＋1－2×2×1×34＝2.那么，AB＝2.(2)由cosC＝34，且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，ABsinC＝BCsinA，解得sinA＝BCsinCAB＝148.所以，cosA＝528.由倍角公式sin2A＝2sinA·cosA＝5716，且cos2A＝1－2sin2A＝916，故sin()2A＋C＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.10．解析：(1)由cosB＝－513，得sinB＝1213，由cosC＝45，得sinC＝35.所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝3365.(2)由S△ABC＝332得12×AB×AC×sinA＝332，由(1)知sinA＝3365，故AB×AC＝65，又AC＝AB×sinBsinC＝2013AB，故2013AB2＝65，AB＝132.所以BC＝AB×sinAsinC＝112.