专题训练(二)-特殊平行四边形中的折叠问题

专题训练(二)特殊平行四边形中的折叠问题►类型之一把一个顶点折叠到一条边上1．2017·天水如图2－ZT－1，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________°.图2－ZT－12．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．图2－ZT－23．如图2－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．图2－ZT－34．某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据①②步骤计算EC的长．5．如图2－ZT－4，已知矩形纸片ABCD，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O.求证：A，G，E，F四点构成的四边形是菱形．图2－ZT－4►类型之二把一条边折叠到对角线上6．如图2－ZT－5，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()图2－ZT－5A．3B．4C．5D．67．准备一张矩形纸片ABCD，按如图2－ZT－6所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．图2－ZT－6►类型之三把一个顶点折叠到另一个顶点上8．如图2－ZT－7，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为()图2－ZT－7A．3B．4C．6D．89．把一张矩形纸片ABCD按图2－ZT－8的所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm2.图2－ZT－810．如图2－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．图2－ZT－9►类型之四沿一条直线折叠11．如图2－ZT－10，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()图2－ZT－10A．82B．42C．8D．612．如图2－ZT－11，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是()图2－ZT－11A．210－2B．6C．213－2D．413．2017·宁夏如图2－ZT－12，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．图2－ZT－1214．2017·西宁如图2－ZT－13，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为________．图2－ZT－1315．如图2－ZT－14，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．图2－ZT－14详解详析1．[答案]402．[答案]12[解析]由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE.所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和．故矩形ABCD的周长为12.3．解：根据折叠的性质，得EF＝AE＝5.根据矩形的性质，得∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝EF2－BF2＝52－32＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.4．解：设EC＝xcm，则EF＝DE＝(16－x)cm.由题意得AF＝AD＝20cm.在Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝12cm，FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得x＝6，∴EC的长为6cm.5．证明：连接AF.由折叠的性质，得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.∵DC∥AB，∴∠EFG＝∠AGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG.又∵AG＝EG，∴EF＝AG，∴四边形AGEF是平行四边形．又∵AG＝EG，∴平行四边形AGEF是菱形，即A，G，E，F四点构成的四边形是菱形．6．D7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．(2)∵四边形BFDE是菱形，∴BE＝ED＝BF，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝233，BF＝BE＝2AE＝433，∴菱形BFDE的面积为433×2＝833.8．C9．[答案]5110[解析]设ED＝xcm，则根据折叠和矩形的性质，得A′E＝AE＝(5－x)cm，A′D＝AB＝3cm.根据勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，即x2＝(5－x)2＋32，解得x＝175，∴S△DEF＝12×175×3＝5110(cm2)．10．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE＝CE＝16－x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，∴AE＝16－6＝10.由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝10.过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.在Rt△EFH中，EF＝EH2＋FH2＝82＋42＝45.11．C12．A13．[答案]105°[解析]在平行四边形ABCD中，AD∥BC，得∠DBC＝∠ADB.又由折叠，得∠A＝∠A′，∠BDA′＝∠BDA，所以∠DBC＝∠BDA′.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及∠1＝50°，可得∠DBC＝25°，则∠ABC＝∠2＋∠DBC＝75°.因为AD∥BC，所以∠A＋∠ABC＝180°，所以∠A＝105°，∴∠A′＝105°.14．[答案]194[解析]作CH⊥AB于点H，则BH＝2，CH＝23，则AH＝8.在Rt△ACH中，设AE＝CE＝a，则EH＝8－a，由CH2＋EH2＝CE2，得(8－a)2＋(23)2＝a2，解得a＝194，即AE＝194.15．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥DC.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.又由翻折，知EC⊥BP，EP＝EB＝AE，∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，∴EC∥AF，∴四边形AECF为平行四边形．(2)证明：∵△AEP是等边三角形，∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，∴∠PEC＝∠BEC＝60°，∴∠PAB＝∠PEC＝60°.由(1)与题可知APB＝∠EPC＝90°，∴△APB≌△EPC.(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，∴AE＝BE＝12AB＝3.在Rt△BEC中，EC＝BE2＋BC2＝5，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF＝EC＝5.如图，设CE与BP交于点H.∵BE·BC＝EC·BH，∴BH＝125，∴PH＝BH＝125，∴BP＝245.在Rt△BPA中，AP＝BA2－BP2＝185，∴PF＝75.过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，∴CG＝PH＝125，∴△CPF的面积S＝12PF·CG＝12×75×125＝4225.