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1专题71独立事件及随机变量的概率分布（理）专题知识梳理1.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立.(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).②如果事件A与B相互独立，那么A与𝐵，𝐴与B，𝐴与𝐵也相互独立.(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n).2.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.3.离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的概率分布.(2)离散型随机变量概率分布的性质①pi≥0(i=1，2，…，n)；②p1+p2+…+pn=1.4.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为X01P1-pp其中p=P(X=1)称为成功概率.2(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X=r”发生的概率为P(X=r)=C𝑀𝑟C𝑁-𝑀𝑛-𝑟C𝑁𝑛，r=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布.X01…mP𝐶M0𝐶N−Mn𝐶Nn𝐶M1𝐶N−Mn−1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N−Mn−m𝐶Nn(3)二项分布X~B(n，p)，记为C𝑛𝑘pkqn-k=B(k；n，p).X01…k…nP𝐶n0p0qn𝐶n1p1qn-1…𝐶nkpkqn-k…𝐶nnpnq05.求概率分布的步骤(1)明确随机变量X取哪些值；(2)求X取每一个值的概率；(3)列成表格.考点探究考向1相互独立事件【例】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向.已知该网民购买A种商品的概率为34，购买B种商品的概率为23，购买C种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η=1的概率.【解析】(1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB𝐶)+P(A𝐵C)+P(𝐴BC)=34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)=34×23×12=14.所以该网民至少购买2种商品的概率为P=1124+14=1724.答：该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0，1，2，3.由(1)知，P(η=2)=1124，P(η=3)=14，3又P(η=0)=P(𝐴𝐵𝐶)=14×13×12=124，故P(η=1)=1-P(η=0)-P(η=2)-P(η=3)=14.答：η=1时的概率为14.题组训练甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布.【解析】(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则A=A1·A2，所以P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=14.(2)X的可能取值为0，1，2.设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=18，P(X=2)=P(𝐵1·B3)=P(𝐵1)P(B3)=14，P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-18-14=58，所以X的概率分布如下表：X012P185814考向2离散型随机变量的概率分布【例】从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和.(1)求X是奇数的概率；(2)求X的概率分布及数学期望.【解析】(1)记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48.X是奇数的个数是28，所以P(A)=2848=712，即X是奇数的概率为712.4(2)X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X=3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X=3)=448=112；当X=4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X=4)=448=112；当X=5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X=5)=848=16；当X=6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X=6)=1048=524；当X=7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X=7)=1048=524；当X=8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X=8)=648=18；当X=9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X=9)=648=18.所以X的概率分布如下表：X3456789P112112165245241818所以E(X)=3×112+4×112+5×16+6×524+7×524+8×18+9×18=254.题组训练已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的概率分布.【解析】X的可能取值为3，4，5，6.P(X=3)=C53C93=542，P(X=4)=C52C41C93=1021，P(X=5)=C51C42C93=514，P(X=6)=C43C93=121.故X的概率分布如下：X3456P5421021514121考向3超几何分布【例】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率.【解析】由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，5X=0表示取出的3个球全是黑球，P(X=0)=C53C83=1056=528.同理P(X=1)=C31·C52C83=3056=1528，P(X=2)=C32·C51C83=1556，P(X=3)=C33C83=156.所以X的概率分布如下表：X0123P52815281556156所以至少有一个红球的概率为P(X≥1)=1-528=2328.题组训练1.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布.【解析】(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43=64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A43=24个基本事件，则P(M)=2464=38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)由题知X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=3343=2764，P(X=1)=C31×3243=2764，P(X=2)=C32×343=964，P(X=3)=C3343=164.所以X的概率分布为X0123P276427649641642.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员.从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X=3)等于.【解析】P(X=3)=C53C51C104=521.3.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理6暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C65C105=142，P(X=1)=C64C41C105=521，P(X=2)=C63C42C105=1021，P(X=3)=C62C43C105=521，P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142考向4二项分布【例】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布.【解析】由题意知ξ~B(3，25)，则P(ξ=0)=C30(25)0(35)3=27125，P(ξ=1)=C31(25)1(35)2=54125，P(ξ=2)=C32(25)2(35)1=36125，P(ξ=3)=C33(25)3=8125.所以ξ的概率分布如下表：ξ0123P2712554125361258125题组训练71.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的概率分布.【解析】(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)=C43(12)3(12)4-3·12=18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B，因为，乙以4比2获胜的概率为P1=C53(12)3(12)5-3·12=532，乙以4比3获胜的概率为P2=C63(12)3(12)6-3·12=532，所以P(B)=P1+P2=516.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7，P(X=4)=2C44(12)4=18，P(X=5)=2C43(12)3(12)4-3·12=14，P(X=6)=2C53(12)3(12)5-3·12=516，P(X=7)=2C63(12)3(12)6-3·12=516.所以比赛局数X的概率分布如下表：X4567P18145165162.甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小，并证明你的结论.【解析】(1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)=C43(12)4+C44(12)4=516，同理P(3)=C64(12)6+C65(12)6+C66(12)6=1132.(2)在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局，8故P(n)=C2𝑛𝑛+1(12)2�