专题71--独立事件及随机变量的概率分布(理)(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题71独立事件及随机变量的概率分布（理）专题知识梳理1.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立.(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).②如果事件A与B相互独立，那么A与与B，与也相互独立.(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n).2.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.3.离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的概率分布.(2)离散型随机变量概率分布的性质①pi≥0(i=1，2，…，n)；②p1+p2+…+pn=1.4.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为X01中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师P1-pp其中p=P(X=1)称为成功概率.(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X=r”发生的概率为P(X=r)=，r=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布.X01…mP…(3)二项分布X~B(n，p)，记为pkqn-k=B(k；n，p).X01…k…nPp0qnp1qn-1…pkqn-k…pnq05.求概率分布的步骤(1)明确随机变量X取哪些值；(2)求X取每一个值的概率；(3)列成表格.考点探究考向1相互独立事件【例】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向.已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η=1的概率.【解析】(1)该网民恰好购买2种商品的概率为中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)=××=.所以该网民至少购买2种商品的概率为P=+=.答：该网民至少购买2种商品的概率为.(2)随机变量η的可能取值为0，1，2，3.由(1)知，P(η=2)=，P(η=3)=，又P(η=0)=P()=××=，故P(η=1)=1-P(η=0)-P(η=2)-P(η=3)=.答：η=1时的概率为.题组训练甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布.【解析】(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则A=A1·A2，所以P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.(2)X的可能取值为0，1，2.设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=，P(X=2)=P(·B3)=P()P(B3)=，P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=，所以X的概率分布如下表：X012P考向2离散型随机变量的概率分布【例】从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和.(1)求X是奇数的概率；(2)求X的概率分布及数学期望.【解析】(1)记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48.X是奇数的个数是28，所以P(A)==，即X是奇数的概率为.(2)X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X=3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X=3)==；当X=4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X=4)==；当X=5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X=5)==；当X=6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X=6)==；中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师当X=7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X=7)==；当X=8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X=8)==；当X=9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X=9)==.所以X的概率分布如下表：X3456789P所以E(X)=3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×=.题组训练已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的概率分布.【解析】X的可能取值为3，4，5，6.P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)==.故X的概率分布如下：X3456P考向3超几何分布【例】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率.【解析】由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师X=0表示取出的3个球全是黑球，P(X=0)===.同理P(X=1)===，P(X=2)==，P(X=3)==.所以X的概率分布如下表：X0123P所以至少有一个红球的概率为P(X≥1)=1-=.题组训练1.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布.【解析】(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43=64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含=24个基本事件，则P(M)==，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为.(2)由题知X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==.所以X的概率分布为X0123中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师P2.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员.从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X=3)等于.【解析】P(X=3)==.3.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==.因此X的分布列为X01234P考向4二项分布【例】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布.【解析】由题意知ξ~B，则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==.所以ξ的概率分布如下表：ξ0123P题组训练1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的概率分布.【解析】(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)=·=.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B，因为，乙以4比2获胜的概率为P1=·=，乙以4比3获胜的概率为中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师P2=·=，所以P(B)=P1+P2=.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7，P(X=4)=2=，P(X=5)=2·=，P(X=6)=2·=，P(X=7)=2·=.所以比赛局数X的概率分布如下表：X4567P2.甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小，并证明你的结论.【解析】(1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)=+=，同理P(3)=++=.(2)在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局，故P(n)=++…+=(++…+)·=(++…+-)·=(22n-)·=，所以中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师1811891