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1专题71独立事件及随机变量的概率分布（理）专题知识梳理1.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=________________，那么称事件A与事件B相互独立.(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)=________________.②如果事件A与B相互独立，那么A与𝐵，𝐴与B，𝐴与𝐵也相互独立.(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n).2.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.3.离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的__________，简称为X的________，有时为了表达简单，也用等式___________________表示X的概率分布.(2)离散型随机变量概率分布的性质①_____________________；②________________________.4.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为X01P________其中p=____________称为成功概率.2(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X=r”发生的概率为P(X=r)=C𝑀𝑟C𝑁-𝑀𝑛-𝑟C𝑁𝑛，r=0，1，2，…，m，其中m=________________，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布.X01…mP𝐶M0𝐶N−Mn𝐶Nn𝐶M1𝐶N−Mn−1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N−Mn−m𝐶Nn(3)二项分布X~B(n，p)，记为C𝑛𝑘pkqn-k=B(k；n，p).X01…k…nP𝐶n0p0qn𝐶n1p1qn-1…𝐶nkpkqn-k…𝐶nnpnq05.求概率分布的步骤(1)明确随机变量X取哪些值；(2)求X取每一个值的概率；(3)列成表格.考点探究考向1相互独立事件【例】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向.已知该网民购买A种商品的概率为34，购买B种商品的概率为23，购买C种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η=1的概率.3题组训练甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布.考向2离散型随机变量的概率分布【例】从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和.(1)求X是奇数的概率；(2)求X的概率分布及数学期望.题组训练已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的概率分布.4考向3超几何分布【例】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率.题组训练1.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布.2.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员.从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X=3)等于______________________.3.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.5考向4二项分布【例】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布.题组训练1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的概率分布.2.甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小，并证明你的结论.