【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测-第十一章-第8讲-二项分布与正态分布-理-新人教A版

1第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.6.答案A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案A4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于()．A．1B．2C．3D．4解析∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案B5．在正态分布N0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为()．A．0.097B．0.046C．0.03D．0.00262解析∵μ＝0，σ＝13∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.答案D6．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσi·e－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()．A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案D二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1X0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.8413，∴P(X1)＝1－P(X≤1)＝1－0.8413＝0.1587.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X－1)＝P(X1)＝0.1587，3∴P(－1X1)＝1－P(X－1)－P(X1)＝0.6826.∴P(－1X0)＝12P(－1X1)＝0.3413.答案0.34139．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是________．解析P(9.8X10.2)＝P(10－0.2X10＋0.2)＝0.9544.答案0.9544三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μσ)＝2P(X－μ－σ)＋0.6826＝1，∴P(X－μ－σ)＝0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ－σ)＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μσ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．4则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.9974.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.0013∴学生总数为：130.0013＝10000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.0228.设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.0228.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.0228＝0.9544.又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.9544.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X11.522.53P3203101415110X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.5(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意，知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，由于A＝BC－D－＋B－CD－＋B－C－D，根据事件的独立性和互斥性，得P(A)＝P(BC－D－＋B－CD－＋B－C－D)＝P(BC－D－)＋P(B－CD－)＋P(B－C－D)＝P(B)P(C－)P(D－)＋P(B－)P(C)P(D－)＋P(B－)P(C－)P(D)＝34×1－23×1－23＋1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝736.(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P(X＝0)＝P(B－C－D－)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝1－34×1－23×1－23＝136；6P(X＝1)＝P(BC－D－)＝P(B)P(C－)P(D－)＝34×1－23×1－23＝112；P(X＝2)＝P(B－CD－＋B－C－D)＝P(B－CD－)＋P(B－C－D)＝1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝19；P(X＝3)＝P(BCD－＋BC－D)＝P(BCD－)＋P(BC－D)＝34×23×1－23＋34×1－23×23＝13；P(X＝4)＝P(B－CD)＝1－34×23×23＝19，P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.故X的分布列为X012345P13611219131913所以E(X)＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.